高中数学-柯西不等式与排序不等式

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时间:2018-11-17

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1、3.13.2柯西不等式1.二元均值不等式有哪几种形式?答案:及几种变式.2.已知a、b、c、d为实数,求证证法:(比较法)=….=定理:若a、b、c、d为实数,则.变式:或或.定理:设,则(当且仅当时取等号,假设)变式:.定理:设是两个向量,则.等号成立?(是零向量,或者共线)练习:已知a、b、c、d为实数,求证.证法:(分析法)平方→应用柯西不等式→讨论:其几何意义?(构造三角形)三角不等式:①定理:设,则.变式:若,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式?例1:求函数的最大值?分析:如何变形?→构造柯西不等式的形式变式:→推广:例2:若,,求证:.分析:如何变形后利用柯

2、西不等式?(注意对比→构造)要点:…讨论:其它证法(利用基本不等式)练习:已知,求的最小值.解答要点:(凑配法).讨论:其它方法(数形结合法)练习:已知、,求证:.例1:已知,求的最小值.练习:若,且,求的最小值.变式:若,且,求的最小值.变式:若,且,求的最大值.例2:若>>,求证:.要点:例3已知正数满足证明证明:利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2,再加上得:故例4设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径,证明证明:由柯西不等式得,记为的面积,则故不等式成立。练习:已知实数满足,试求的最值解:由柯西不等式得,有即由条件可得,解得,当且仅当时等号成立,代入时,时3

3、.3排序不等式排序不等式(即排序原理):设有两个有序实数组:···;···.···是,···的任一排列,则有···+(同序和)+···+(乱序和)+···+(反序和)当且仅当···=或···=时,反序和等于同序和.排序不等式的应用:例1:设是n个互不相同的正整数,求证:.证明过程:设是的一个排列,且,则.又,由排序不等式,得…小结:分析目标,构造有序排列.练习:已知为正数,求证:.解答要点:由对称性,假设,则,于是,,两式相加即得.

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