高中数学-柯西不等式与排序不等式.docx

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1、3.13.2柯西不等式1.二元均值不等式有哪几种形式？答案：abab(a0,b0)及几种变式.22.已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=⋯.=(adbc)20定理：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.变式：a2b2gc2d2

2、acbd

3、或a2b2gc2d2

4、ac

5、

6、bd

7、或a2b2gc2d2acbd.定理：设a1,a2,L,an,b1,b2,L,bnR，则(a12a22Lan2)(b12b22Lbn2)(a1b1

8、a2b2anbn)2（当且仅当a1a2Lan时取等号，假设bi0）b1b2bn变式：a12a22Lan21(a1a2an)2.ururnurururur定理：设,是两个向量，则

9、g

10、

11、

12、

13、

14、.ururur等号成立？（是零向量，或者,共线）练习：已知a、b、c、d为实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式：①定理：设x1,y1,x2,y2R，则x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2.变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则

15、结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？例1：求函数y3x1102x的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式变式：y3x1102x→推广：yabxcdefx,(a,b,c,d,e,fR)例2：若x,yR，xy2，求证：112.xy分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：111(xy)(11)1[(x)2(y)2][(1)2(1)2]⋯xy2xy2xy讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值.解答要点：（凑配法）x2y21(x2y2)(3222)1(3x2y)21.1313

16、13讨论：其它方法（数形结合法）练习：已知a、b11R，求证：(ab)()4.ab例1：已知3x2yz1，求x2y2z2的最小值.练习：若x,y,zR，且111yz1，求x的最小值.xyz23变式：若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值.变式：若x,y,zR，且xyz1，求xyz的最大值.例2：若a>b>c，求证：114bbca.ac要点：(ac)(11)[(ab)(bc)](11)(11)24abbcabbc例3已知正数a,b,c满足abc1证明a3b3c3a2b2c23c223131312a2b2证明：利用柯西不

17、等式a2a2b2b2c2c2323232a3b3c32a2b2c2abcQabc1abc又因为a2b2c2abbcca在此不等式两边同乘以2，再加上a2b2c2得：abc3a2b2c2Qa2b2c22a3b3c3?3a2b2c2故a3b3c3a2b2c23例4设p是VABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是VABC外接圆的半径，证明xyz1a2b2c22R证明：由柯西不等式得，xyzax1by1cz1axbyczg111abcabc记S为VABC的面积，则axbycz2S2gabcabc4R2Rxyzabcab

18、bcca1abbcca1a2b2c22Rabc2R2R故不等式成立。练习：已知实数a,b,c,d满足abcd3，a22b23c26d25试求a的最值解：由柯西不等式得，有2b23c26d2111bc2d236即2b23c26d2bcd25a232由条件可得，a解得，1a22b3c6d时等号成立，当且仅当131612代入b1,c1,d1amax2b1,c21amin13时，,d时6333.3排序不等式排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,b

19、n的任一排列,则有a1b1a2b2···+anbn(同序和)a1c1a2c2+···+ancn(乱序和)a1bna2bn1+···+anb1(反序和)当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和.排序不等式的应用：例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：1111a1a2a3an证明过程：23n2232n2.设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bnn.又1111，由排序不等式，得222n23a1a2a3anb2b3bn⋯2232n2b13

20、2n222小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).解答要点：由对称性，假设abc，则a2b2c2，于是a2ab2bc2ca2cb2ac2b，a2