数列与不等式的综合问题

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1、数列与不等式的综合问题  测试时间:120分钟   满分:150分解答题(本题共9小题,共150分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q(q≠1),且b2+S2=12,q=.(1)求an与bn;(2)证明:≤++…+<.解 (1)设{an}的公差为d,因为所以解得q=3或q=-4(舍),d=3.(4分)故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.(6分)(2)证明:因为Sn=,(8分)所以

2、==.(10分)故++…+==.(12分)因为n≥1,所以0<≤,于是≤1-<1,所以≤<,即≤++…+<.(15分)2.[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n∈N*.(1)求证:数列为等比数列;(2)记Sn=++…+,若Sn<100,求最大正整数n.解 (1)证明:因为=+,所以-1=-=.又因为-1≠0,所以-1≠0(n∈N*),所以数列为等比数列.(7分)(2)由(1),可得-1=×n-1,所以=2×n+1.所以Sn=++…+=n+2=n+2×=n+1-,若Sn<100,则n+1-<10

3、0,所以最大正整数n的值为99.(15分)3.[2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=2,b1=3,a3+b5=56,a5+b3=26.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若-x2+3x≤对任意n∈N*恒成立,求实数x的取值范围.解 (1)由题意,将a1=2,b1=3代入,得消d得2q4-q2-28=0,∴(2q2+7)(q2-4)=0,∵{bn}是各项都为正数的等比数列,∴q=2,所以d=3,(4分)∴an=3n-1,bn=3·2n-1.(8分)(2)记c

4、n=,cn+1-cn=3·2n-1·>0所以cn最小值为c1=1,(12分)因为-x2+3x≤对任意n∈N*恒成立,所以-x2+3x≤2,解得x≥2或x≤1,所以x∈(-∞,1]∪[2,+∞).(15分)4.[2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N*),且b1,a2,b2成等差数列,a2,b2,a3+2成等比数列.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)设cn=abn,数列{cn}的前n项和为Sn,若>an+t对所有正整数n恒成立,求常数t的取值范围.解 

5、(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q>0).由题意,得解得d=q=3.(3分)∴an=3n-2,bn=2·3n-1.(5分)(2)cn=3·bn-2=2·3n-2.(7分)∴Sn=c1+c2+…+cn=2(31+32+…+3n)-2n=3n+1-2n-3.(10分)∴==3n+1.(11分)∴3n+1>3n-2+t恒成立,即t<(3n-3n+3)min.(12分)令f(n)=3n-3n+3,则f(n+1)-f(n)=2·3n-3>0,所以f(n)单调递增.(14分)故t

6、,3).(15分)5.[2016·天津高考](本小题满分15分)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=b-b,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;(2)设a1=d,Tn=(-1)kb,n∈N*,求证:<.证明 (1)由题意得b=anan+1,有cn=b-b=an+1an+2-anan+1=2dan+1,(3分)因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等差数列.(6分)(2)Tn=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b)=2d(a2

7、+a4+…+a2n)=2d·=2d2n(n+1).(9分)所以==(12分)=·<.(15分)6.[2016·德州一模](本小题满分15分)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn·2=(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn,写出Tn关于n的表达式,并求满足Tn>时n的取值范围.解 (1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=n,所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n-1(n≥2).两式相减得an=(n≥2),(4分)又a1=1满足上式,∴an=(n

8、∈N*),(5分)(2)由(1)知bn=,(6分)Tn=+++…+,Tn=+++…+.两式相减得Tn=+2-,Tn=+2×-,(9分)Tn=1+4-=3-,(10分)由Tn-Tn

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