数列导数与不等式综合问题.doc

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1、数列导数与不等式综合问题一、数列与不等式1、“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.已知求证：证明：若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.例2．函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.证明：由f(n)==1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>.此题不

2、等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。2、分式放缩22一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3..数列满足，.（1）求通项公式；（2）令，数列前项和为，求证：当时

3、，；解（1），两边同除以得：∴∴是首项为，公比的等比数列………………4分∴∴（2），当时，，………………5分两边平方得：……相加得：又∴…………………………………………9分例4.已知数列的前n项和为，点在曲线上且.（1）求数列的通项公式；22（2）求证：.解：(1)∴∴∴数列是等差数列，首项公差d=4∴∴∵∴…………（4分）(2)∴∴……………………12分例5.已知数列的首项，前项和为，且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，点B分所成的比为，设22。⑴判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；⑵设，证明

4、：。解⑴由题意得……………3分数列是以为首项，以2为公比的等比数列。………………6分则（）]⑵由及得，……………………………………………………………8分则……………………10分………………12分3、裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例7.设数列满足，（），数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求证：当时，；（3）试探究：当时，是否有？说明理由.（1）解法：∵22∴（）∴-------------------------------------1分-

5、---------------------------------------------------3分∴（）又也适合上式，∴-------------------------------------------------5分（2）证明：∵∴∵当时，∴＝------8分又∵∴∴当时，.---------------------------------------------10分(3)∵22∴＝-----------------------------------------------------1

6、2分当时,要只需即需，显然这在时成立而,当时显然即当时也成立综上所述：当时，有.------------------------------14分4、先放缩再求和（或先求和再放缩）例8.已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。二、数列导数与不等式综合问题1.数列的通项是关于x的不等式的解集中的整数的个数，且已知（1）求数列的通项公式；22（2）若的前n项和（3）求证：对解：（1）不等式解得，其中整数解有n个，（2）由（1）知，，用错位相减法可求得…………7分（3）得

7、证…………9分又由，两式相减，得：递增，的最小值是综上，对…………12分2.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.如果函数有且仅有两个不动点、，且.（Ⅰ）试求函数的单调区间；（Ⅱ）已知各项不为1的数列满足，求证：；（Ⅲ）在（2）中，设，为数列的前项和，求证：.22解：（1）设∴………………………1分∴由又∵∴∴……3分于是由得或；由得或故函数的单调递增区间为和，……4分单调减区间为和……5分（2）由已知可得，当时，两式相减得∴或……6分当时，，若，则这与矛盾∴∴……7分于是，待证不等式即为.为此，我们

8、考虑证明不等式令则，再令，由知∴当时，单调递增∴于是即……9分　　　①令，由知∴当时，单调递增∴于是即　　　　②由①、②可知22所以，，即……11分（3）由（2）可知则在中令，并将各式相加得即……14分3.数列满足，，若数列满足，（Ⅰ）求，，及；（Ⅱ）证明：;（Ⅲ）求证：解：（Ⅰ），，……………1分由∴…………………………3分（Ⅱ）∵∴，∴………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）知………………8分而………………9分当时，………………10分22