离散数学中关系性质的判定方法

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1、离散数学中关系性质的判定方法离散数学中关系性质的判定方法　　关系的概念是离散数学中关系的基础，又是集合概念的应用，因此应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。而关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），有如下方法加以判定：　　一、依据其定义　　1.自反性：　　设R是集合A上的二元关系，如果对于每一个a∈A，若有（a，a）∈R，即aRa，则称R在集合A上具有自反性。　　2.对称性：　　设R是集合A上的二元关系

2、，对于任意的a、b∈A，若有（a，b）∈R，就有（b，a）∈R，则称R在集合A上具有对称性。　　3.反对称性：本文由.L.收集整理　　设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b∈A，若（a，b）∈R且（b，a）∈R时，必有a=b，则称R在集合A上具有反对称性。　　4.传递性：　　设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b、c∈R，若（a，b）∈R，且（b，c）∈R，就有（a，c）∈R，则称关系R在A上具有传递性。　　二、依据关系矩阵和关系

3、图的关系　　1.关系R具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素全为1；或者在关系图中每个结点上都有一条自回路。　　2.若关系R具有对称性，当且仅当关系矩阵是对称矩阵；或者在关系图中，若两个结点间存在有向弧，必是成对的。　　3.若关系R具有反对称性，当且仅当关系矩阵中以主对角线为对称轴的对称元素不能同时为1（可以同时为0），而主对角线上的元素是1或者是0；在关系图上，若两个结点间存在有向弧，不可能成对出现，结点可以有自回路。　　4.若关系R具有传递性，关系矩阵没有明显特征。关系图的特点是：任意两个结点a、b间若能通过一条以上的弧间

4、接连结起来，则必有一条直接从a到b的弧。作为它的一种特殊情况，若两点间各有一条直接从a到b和由b到a的弧连接时，则在这两个结点a、b上必然各有一条自回路。　　对于传递性的判定，难度稍大一些，要注意两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性和反对称性，但是不具有自反性。二是介绍一种判定传递性的跟踪法，即若（a1，a2）∈R，（a2，a3）∈R，L（ai-1，ai）∈R，则（a1，ai）∈R；如若（a，b）∈R，（b，a）∈R，则有（a，

5、a）∈R，且（b，b）∈R。　　例1、设集合A={a，b，c，d}，判定下列关系哪些是自反的、对称的、反对称的和传递的：R1={（a，a），（b，a）}，R2={（a，a），（b，c），（d，a）}，R3={（c，d）}，R4={（a，a），（b，b），（c，c）}，R5={（a，c），（b，d）}。　　解：依据关系性质的定义，可判定：均不是自反的；R4是对称的；R1、R2、R3、R5是反对称的；R1、R2、R3、R4、R5是传递的。　　例2、设集合A={1，2，3}上的关系R1={（1，1），（2，2），（3，3）

6、}，R2={（1，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}，R3={（1，2），（2，3），（3，1）}，R4=ψ，说明每种关系所具有的性质。　　解：先做出关系矩阵，再依据其规律加以判断。　　100100　　MR1=010MR2=011　　001011　　010000　　MR3=001MR4=000　　100000　　由判定方法二知，R1具有自反性、对称性、反对称性与传递性；R2具有对称性与传递性；R3具有反对称性；R4具有对称性、反对称性与传递性。