分式及其基本性质.doc

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1、分式及其基本性质【教材研学】一、分式的定义针对分式的定义可以提出多种类型的问题。比如：如何区分整式与分式；分式何时有意义、无意义；分式取值情况等。其中分式的取值情况又包括：①分式值为0的条件；②分式的值何时为正；③分式的值何时为负等．解题要领是：分式有意义分母不等于0分式无意义分母等于0分式值为0分子等于0，分母不等于0分式值为正分子、分母同号分式值为负分子、分母异号二、分式的基本性质及其应用1．分式的基本性质（1）分式的基本性质由六部分组成：①分式的分子与分母；②都乘以(或除以)；③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分式的值不变．（2）类比思

2、想是学习本章的重要思想方法．学习分式的基本性质可与分数的基本性质类比进行，可以按照下面的顺口溜记：分数分式不相同，分数上下数值型；分式分母含字母，分数分式要分清；分式上下同除乘，除乘整式要非零；分式之值不改变，分式分母不为零．2．分式基本性质的应用分式的基本性质是分式变形的重要依据．主要用于以下几个方面：（1）将分子、分母中各项的系数化为整数；（2）改变分式的分子、分母中部分项的符号(比如：改变分式的首项系数的符号，改变分式的最高次项的符号等)；（3）符号化简：分式的分子、分母与分式本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变；（4）约分：根

3、据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去．老师：约分是化简分式的一种手段，怎样进行分式的约分?小刚：有些分式的分子与分母都是单项式，而有些分式的分子与分母中出现了多项式，约分时步骤应有所不同．小明：分子与分母都是单项式时，分子与分母的系数约去最大公约数，字母则约去分子与分母中相同字母的最低次幂．小勇：若分子与分母中有多项式，不方便直接约分，这时先将多项式分解因式，转化为乘积的形式，再约分．老师：约分后，分式的分子与分母应没有公因式，化成最简形式．三、探究活动问题：分式何时不能约分?探究：学习了分式及其基本性质以后，感受到分式的约分

4、为我们带来了很大的方便，但分式并不是在什么情况下都能约分，下面从以下几个方面来探究：1．判断分式概念时不能约分。比如：判断是整式还是分式，若将其约分。根据x一1是整式，因而判断也是整式是错误的．因为判断一个代数式是否是分式，应根据分式的定义，分母中有没有字母是判断分式的关键，本题所给的式子分母中有字母，直接判断为分式·2．确定分式有、无意义及值为零的条件时不能约分.比如：x为何值时，有意义?有些同学按下面的解法错解成：，由分母x—l≠0，得x≠1，即当x≠1时，有意义。事实上，由于约分使分式分母中的取值范围扩大，由原来的x≠O且x≠1扩大为x

5、≠1.3．判断两个分式是否相等时不能约分．比如：判断与是否相等。若按下面的方法约分后再判断是不对的：∵∴与值相等·事实上，这两个分式的字母取值范围不同，一定是不同的分式．结论：一般的说，分式的分子与分母约去的如果是一个具体的数，在很多情况下可以约分，如果分子、分母约去的是一个含有字母的整式，有些问题可以约分，有些则不能．【点石成金】例1、若分式的值为0，必须分子为0，即x2－x＝0，解得，x＝0，x＝1。但当x=1时，分母一1=0，所以x≠1；当x=0时，分母一1=0－1≠0，因此使分式的值为0的x的值是0．答案:0名师点金：要使一个分式的值

6、为0，需满足两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件同时成立．这类题有两种解法：（1）解这个不等式；（2）先求分子=0的x值，再代入分母中验证．例2（1）当x_________时，分式的值为正；（2）当x________时，分式的值为负；（3）当x_________时，分式的值为一1．分析：在（1）、（2）两个问题中，可根据有理数相除的符号法则“同号得正，异号得负”解决；（3）分式值为一1，说明分式的分子、分母互为相反数．解：（1）∵6与2x－4同号，∴2x一4>0．∴x>2．（2）5x2+4>0，∴x—l<0．∴x<1．（3）

7、由题意得：x一1＝一（3x一2），x＝。名师点金：分式的值为正，要求a,b同号；分式的值为负，要求a，b异号；分式=l要求a=b≠0；分式＝一l要求a＝一b≠0．例3、不改变分式的值，使分式的分子、分母都不含有负号：（1）；（2）一。分析：因为这两个分式的分子、分母都有负号，可以分子、分母同乘以一l；此外由于分式（两式相除）中也适用有理数相除的符号法则“同号得正，异号得负”，因而也可以利用符号法则化简符号．解：（1）；（2）一名师点金：分式符号变化规律可以简记为：“分子分母双其反，分式符号不会变；若是其中之一变，分式符号定取反．”例4：约分：

8、．分析：分式中的（m一3）与3一m互为相反数，即m一3=一（3一m），所以约分后要改变符号．解：名师点金：在进行分式的约分时，要注意约分前后符号的变化，约分时也可先