浮点数表示及运算

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1、计算机组成原理Sunday,July18,2021浮点数表示及运算一、浮点数的表示N=Re×m=2E×M=2±e×(±m)E0E1E2………EmM0M1M2………Mn尾数值阶值阶符尾符9×10-28=0.9×10-272×1033=0.2×1034任意一个十进制数N可以写成N=10E·×M(十进制表示)计算机中一个任意进制数N可以写成m:尾数,是一个纯小数。e:浮点的指数,是一个整数。R:基数,对于二进计数值的机器是一个常数,一般规定R为2,8或16浮点数的表示范围负上溢-+负数正数0正上溢负下溢正下溢N=2E×M

2、N

3、→∞产生正上溢或者负上溢

4、N

5、→0产生正下溢或者负下溢尾

6、数:用定点小数表示,给出有效数字的位数,决定了浮点数的表示精度阶码:用定点整数形式表示,指明小数点在数据中的位置,决定了浮点数的表示范围。一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成:最大正数最小正数最小负数最大负数8位定点小数可表示的范围0.0000001---0.11111111/128---127/128设阶码2位,尾数4位可表示2-11*0.0001---211*0.11110.0000001---111.1设阶码3位,尾数3位可表示2-111*0.001---2111*0.1110.0000000001---1110000机器字长一定时,阶码越长,表示范围越大,精度越低浮点

7、数表示范围比定点数大,精度高一个浮点数有不同的表示:0.5;0.05101;0.005102;5010-2为提高数据的表示精度,需做规格化处理。浮点数是数学中实数的子集合,由一个纯小数乘上一个指数值来组成。二、浮点数规格化把不满足这一表示要求的尾数,变成满足这一要求的尾数的操作过程,叫作浮点数的规格化处理,通过尾数移位和修改阶码实现。在计算机内,其纯小数部分被称为浮点数的尾数,对非0值的浮点数,要求尾数的绝对值必须>=1/2,即尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示:0.1000101010规格化目的:为了提高数据的表示精度为了数据表示的唯一性尾数

8、为R进制的规格化:绝对值大于或等于1/R二进制原码的规格化数的表现形式:正数0.1xxxxxx负数1.0xxxxxx正数0.1xxxxxx负数1.1xxxxxx补码尾数的规格化的表现形式:尾数的最高位与符号位相反。解:12310=11110112=0.11110110002×27[7]移=10000+00111=10111[0.1111011000]补=0.1111011000[123]浮=1011101111011000=BBD8H例:对数据12310作规格化浮点数的编码,假定1位符号位,基数为2,阶码5位,采用移码,尾数10位,采用补码。S——尾数符号,0正1负;M——尾数,

9、纯小数表示,小数点放在尾数域的最前面。采用原码表示。E——阶码,采用“移码”表示(移码可表示阶符);阶符采用隐含方式,即采用移码方法来表示正负指数。SEM31302322032位SEM63625251064位为便于软件移植,使用IEEE(电气和电子工程师协会)标准IEEE754标准:尾数用原码;阶码用“移码”;基为2。三、浮点数的标准格式IEEE754规格化浮点数的真值x=(-1)s(1.M)2E-127e=E–127一个规格化的32位浮点数x的真值为:SEM31302322032位浮点数格式:x=(–1)s×(1.M)×2E-1023一个规格化的64位浮点数x的真值为:这里

10、e是真值,E是机器数1.隐藏位技术2.阶码用“移码”偏移值127而不是128Emin=1,Emax=254/2046原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为1,则在保存浮点数到内存前,通过尾数左移,强行把该位去掉,用同样多的位数能多存一位二进制数,有利于提高数据表示精度,称这种处理方案使用了隐藏位技术。当然,在取回这样的浮点数到运算器执行运算时,必须先恢复该隐藏位。例:若浮点数x的二进制存储格式为(41360000)16,求其32位浮点数的十进制值。解:0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000数符:0阶码:1000,0010尾数:011,011

11、0,0000,0000,0000,0000指数e=阶码-127=10000010-01111111=00000011=(3)10包括隐藏位1的尾数:1.M=1.01101100000000000000000=1.011011于是有x=(-1)s×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10例:将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。解:首先分别将整数和分数部分转换成二进制数:20.59375=10100.10011然

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