指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详-解)--补课

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详-解)--补课

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1、第六讲指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数,是高中必须掌握的,在高考中,主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算,对数的运算,指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质(一)整数指数幂1.整数指数幂概念:2.整数指数幂的运算性质:(1)(2)(3)其中,.3.的次方根的概念一般地,如果一个数的次方等于,那么这个数叫做的次方根,即:若,则叫做的次方根,例如:27的3次方根,的3次方根,32的5次方根,的5次方根.说明:①若是奇数,则的次方根记作;若则,若则;②若是偶数,且则的正的次方根记作,的负的次方根

2、,记作:;(例如:8的平方根16的4次方根)③若是偶数,且则没意义,即负数没有偶次方根;④∴;⑤式子叫根式,叫根指数,叫被开方数。∴.4.的次方根的性质一般地,若是奇数,则;若是偶数,则.5.例题分析:例.计算:解:(二)分数指数幂1.分数指数幂:即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;20幂的运算性质对分数指数幂也适用,例如:若,则,,∴.规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是;(2)正数的负分数指数幂的意义是.2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用,即:说明:(1

3、)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。3.例题分析:【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式:,,.解:=;=;=.【例2】计算下列各式的值(式中字母都是正数).(1);(2);解(1)(2)==.==;例3.计算下列各式:(1)(2).解:(1)==(2)=.20==;【例3】已知,求下列各式的值:(1);(2).解:(1),∴,又由得,∴,所以.(2)(法一),(法二)而∴,又由得,∴,所以.二、指数函数1.指数函数定义:一般地,函数(且)叫做指数函数,其中是

4、自变量,叫底数,函数定义域是.2.指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质:图象性质(1)定义域:(2)值域:20(3)过定点,即时(4)在上是增函数(4)在上是减函数【例1】求下列函数的定义域、值域:(1)(2)(3)(4).解:(1)∴原函数的定义域是,令则∴得,所以,原函数的值域是.(2)∴原函数的定义域是,令则,在是增函数∴,所以,原函数的值域是.(3)原函数的定义域是,令则,在是增函数,∴,所以,原函数的值域是.(4)原函数的定义域是,由得,∴,∴,所以,原函数的值域是.说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单

5、函数的值域。【例2】当时,证明函数是奇函数。证明:由得,,故函数定义域关于原点对称。∴20所以,函数是奇函数。三、对数的性质1.对数定义:一般地,如果()的次幂等于N,就是,那么数b叫做a为底N的对数,记作,a叫做对数的底数,N叫做真数。即,。指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明:1.在指数式中幂N>0,∴在对数式中,真数N>0.(负数与零没有对数)2.对任意且,都有∴,同样:.3.如果把中的写成,则有(对数恒等式).2.对数式与指数式的互换例如:,;,;,;,。【例1】将下列指数式写成对数式:(1);(2);(3)

6、;(4).解:(1);(2);(3);(4).3.介绍两种常见的对数:①常用对数:以10作底简写成;②自然对数:以作底为无理数,=2.71828……,简写成.【例2】(1)计算:,.解:设则,,∴;令,∴,,∴.(2)求x的值:①;②.解:①;②但必须:,∴舍去,从而.(3)求底数:①,②.20解:①∴;②,∴.4.对数的运算性质:如果a>0,a¹1,M>0,N>0,那么(1);(2);(3).【例3】计算:(1)lg1421g;(2);(3).解:(1)解法一:;解法二:=;(2);(3)=.5.换底公式:(a>0,a¹1

7、;)证明:设,则,两边取以为底的对数得:,∴,从而得:,∴.说明:两个较为常用的推论:(1);(2)(、且均不为1).20证明:(1);(2).【例4】计算:(1);(2).解:(1)原式=;(2)原式=.【例5】已知,,求(用a,b表示).解:∵,∴,∴,又∵,∴,∴.【例6】设,求证:.证明:∵,∴,∴.四、对数函数1.对数函数的定义:函数叫做对数函数。2.对数函数的性质:(1)定义域、值域:对数函数的定义域为,值域为.(2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形

8、,即可获得。11(图1)同样:也分与两种情况归纳,以(图1)与(图2)为例。11(图2)20(3)对数函数性质列表:图象性质(1)定义域:(2)值域:(3)过点,即当时,(4)在(0,+∞)上是增函数(4)在上是减函数【例1】求下列函数的定义域:(1);(2);(3).分析:此题主要利用对

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