指数函数及对数函数复习（有详细知识点及习题详-解）--补课

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1、WORD格式整理版第六讲指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即：若，则叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；②若是偶数，且则的正的次方根

2、记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根16的4次方根）③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；④∴；⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。∴．4．的次方根的性质一般地，若是奇数，则；若是偶数，则．5．例题分析：例．计算：解：（二）分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；学习好帮手WORD格式整理版幂的运算性质对分数指数幂也适用，例如：若，则，，∴．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；（2）正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性

3、质对于分数指数幂也同样适用，即：说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3．例题分析：【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式：，，.解：=；=；=．【例2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）；（2）；解（1）（2）==．==；例3．计算下列各式：（1）（2）．解：（1）==（2）=．学习好帮手WORD格式整理版==；【例3】已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），∴，又由得，∴，所以.（2）（法一），（法二）而∴，又由得，∴，所以.二

4、、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：图象性质（1）定义域：（2）值域：学习好帮手WORD格式整理版（3）过定点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数【例1】求下列函数的定义域、值域：（1）（2）（3）（4）．解：（1）∴原函数的定义域是，令则∴得，所以，原函数的值域是．（2）∴原函数的定义域是，令则，在是增函数∴，所以，原函数的值域是．（3）原函数的定义域是，令则，在是增函数，∴，所以，原函数的值域是．（4）原函数的

5、定义域是，由得，∴，∴，所以，原函数的值域是．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。【例2】当时，证明函数是奇函数。证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。∴学习好帮手WORD格式整理版所以，函数是奇函数。三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N,就是，那么数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。即，。指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1．在指数式中幂N>0，∴在对数式中，真数N>0．（负数与零没有对数）2．对任意且,都有∴，同样：．3．如果把中的写成，则有（

6、对数恒等式）．2．对数式与指数式的互换例如：，；，；，；，。【例1】将下列指数式写成对数式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．介绍两种常见的对数：①常用对数：以10作底简写成；②自然对数：以作底为无理数，=2.71828……，简写成．【例2】（1）计算：，．解：设则，,∴；令，∴,,∴．（2）求x的值：①；②．解：①；②但必须：，∴舍去，从而．（3）求底数：①，②．学习好帮手WORD格式整理版解：①∴；②,∴．4．对数的运算性质：如果a>0，a¹1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（

7、3）．【例3】计算：（1）lg1421g；（2）；（3）．解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=．5．换底公式：(a>0,a¹1；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，从而得：，∴．说明：两个较为常用的推论：（1）；（2）（、且均不为1）．学习好帮手WORD格式整理版证明：（1）；（2）．【例4】计算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．【例5】已知，，求（用a,b表示）．解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【例6】设，求证：．证明：∵，∴，∴．四、对数函数1．对数函数的定义：函数叫做对数函数。2．对数

8、函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。11（图1）同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。11（图2）学习好帮手WORD格式整理版（3）对数函