对称性、奇偶性和周期性的综合运用

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1、WORD格式可编辑函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一．函数的对称性（一）函数的图象自身对称1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x，图象关于直线对称.推论1：的图象关于直线对称.推论2：的图象关于直线对称.推论3：的图象关于直线对称.求对称轴方法：2、中心对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x，的图象关于点对称.推论：的图象关于点对称.推论：的图象关于点对称.推论：的图象关于点对称.求对称中心方法：小结:轴对称与中心对称的区别轴对称：f(a+x)=f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内

2、反），函数值相等(差为零)；中心对称：f(a+x)=-f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.专业技术分享WORD格式可编辑（二）两个函数的图象相互对称1、函数与函数图象关于直线对称；特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于直线x=0(y轴)轴对称；函数与函数图象关于y轴对称；求对称轴方法：令a+x=b-x,得.2、函数y＝f(a＋x)+c与y＝－f(b－x)+d关于点中心对称；特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点（0,0）（原点）中心对称.函数

3、与函数图象关于原点对称函数.求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得，纵坐标y=二．函数的奇偶性1.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)（f(x)－f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴（x=0）对称．推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称.2.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)（f(x)+f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数

4、的图象关于原点(0,0)对称.推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x)的图像关于点（a，0）中心对称.三．函数的周期性1.定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.2.推论：①()的周期为T.②的周期为专业技术分享WORD格式可编辑③的周期为④的周期为⑤的周期为⑥的周期为⑦的周期为⑧的周期为⑨的周期为⑩若⑾若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称

5、，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2

6、a－b

7、.推论：偶函数满足周期⑿若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2

8、a－b

9、.推论：奇函数满足周期⒀有一条对称轴和一个对称中心的周期T＝4

10、a－b

11、.小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x”；②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；③定义在Ｒ上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在.题型分类1

12、.求函数值专业技术分享WORD格式可编辑例1.设是上的奇函数，当时，，则等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2.偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则f()的值等于(　　)A．－1B.C.D．1解：由于偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，，说明函数的周期为2，f(-x)=f(x)当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则对于，f()=f(2+)=f(2-)=3＋=1故可知答案为D.2

13、．比较函数值大小例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，3、求函数解析式例4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，求当时求f(x)的解析式.例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间专业技术分享WORD格式可编辑上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，4、判断（证明）函数性质例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周

14、期为4，得，由得，故为偶函数.例7.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数解：设则∵f(x)在[-2，0]上是减函数∴又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x)∴∵f(-x)=f