10、理解/(x+2)“只要加2,则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。例4、设/(x)是(-oo,-too)上的奇函数，f(x+2)=-f(x),当0W兀W1时，/(x)=x,则/(7.5)等于()A.0.5B.-0.5C」.5D.-1.5解析：由/(x+2)=—/(兀)=>/(7.5)=—/(5.5)=/(3.5)=-/(1.5)=/(—0.5),又/⑴是奇函数，/(-0.5)=-/(0.5)=-0.5,故选择B。例5、(福建卷〉/⑴是定义在R上的以3为周期的偶函数，且/(2)=0,贝I」方程/(%)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是(B)A.5B・4C・3
11、D・2解析：由/(兀)的周期性知，/⑵=/(5)=/(-1)=-/(!)=-/⑷=0即至少有根1,2,4,5。故选择B。例6、(广东卷〉设函数/(兀)在(y,+8)上满足/(2-x)=/(2+x),=且在闭区间［0,7］上，只有/(I)=f⑶=0.(I)试判断函数y=fix)的奇偶性；(II)试求方程/(x)=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数y=/(兀)的对称轴为兀=2和兀=7,从而知函数y=/(x)不是奇函数，由ff(2-X)=f(2+X)^ff(X)=f(4-X)
12、1/(7-x)=/(7+x)l/(x)=/(14-x)J^/(x)=/(x+10),从而知函数y=/(x)的周期为丁=10又f(3)=/(0)=0,而f(7)工0,故函数j=f(x)是非奇非偶函数;(II)由=+=f(4-x)/(7-x)=/(7+x)=［f(x)=/(14-x)=>/(x)=/(x+10)(11)又/(3)=/(0)=0,/(l1)=/(13)=/(—7)=/(—9)=0故f(x)在［0,10］和［T0,0］上均有有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0,2005］上有402个解，在［-2005.0］上有400个解，所以函数y=f(x)在［-20
13、05,2005］上有802个解.例7、若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们有相同的定义域，且f(x)+g(x)=—^—9求f(x),g(X)的表达式。x-1解：5)+g(’)P①，.•.心)+&(-)=+①,‘Vf(X)是偶函数=>/(-X)=/(X),g(x)是奇函数=>g(-x)=-g(x),・••①'=>/(x)-g(x)=——②,-x-1①+②#：y(x)=^—,Q-1①-②得：g(X)=^-o无--1例8、已知函数/(x)=x3+x,xe/?(1)指出f(x)在定义域R的奇偶性与单调性；(只须写出结论，无须证明)(2)若a,b,cWR,且a+b>0
14、,b+c>0,c+a>0,证明：f(a)+f(b)+f(c)>0o(12分)解：(1)f(x)是定义域R上的奇函数且为增函数。(2)由a+b>0得Ab,由增函数f(a)>f(-b),且奇函数f(-b)=-f(b),得f(a)+f0o同理可得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0。相加得：f(a)+f(b)+f(c)>0o例9、.设函数f(x)的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的西北勺，有心小沽喘汁试判断心的奇偶性，并证明你的结论。"2分)解:V/(x1-x2)=1+/(兀1)/(兀2)/(兀2)-/(尢
15、)二1+/(州)/(兀2)二1+/(西
16、)/(兀2
