高等数学-高数习题精讲-2极限与连续

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1、第2章极限与连续第2章极限与连续§2.1极限1.极限的概念（1）数列的极限：，（正整数），当时，恒有或几何意义：在之外，至多有有限个点（2）函数的极限的极限：，，当时，恒有或几何意义：在（之外，的值总在之间。的极限：，，当时，恒有或几何意义：在邻域内，的值总在之间。（3）左右极限左极限：，，当时，恒有或右极限：，，当时，恒有或极限存在的充要条件：（4）极限的性质唯一性：若，则唯一保号性：若，则在的某邻域内；21第2章极限与连续有界性：若，则在的某邻域内，有界2.无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以为极

2、限的变量称无穷大量；同一极限过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。注意：0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。例如当时，是无界变量，但不是无穷大量。（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；成立的充要条件是（，）（3）无穷小的比较（设，）：若，则称是比高阶的无穷小，记为；特别称为的主部若，则称是比低阶的无穷小；若，则称与是同阶无穷小；若，则称与是等价无穷小，记为；若，（）则称为的阶无穷小；（4）无穷大的比较：若，，且，则称是比高阶的无穷大，记

3、为；特别称为的主部3.等价无穷小的替换若同一极限过程的无穷小量，，且存在，则21第2章极限与连续注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形；（3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即若，，则4.极限运算法则（设，）（1）（2）特别地，，（3）()5.准则与公式（，）准则1：（夹逼定理）若，则准则2：（单调有界数列必有极限）若单调，且（），则存在（收敛）准则3：（主部原则）；公式1：公式2：公式3：，一般地，公式4：21第2章极限与连续6

4、.几个常用极限（1），；（2），；（3），；（4）；（5）；（6）§2.2函数的连续与间断1.连续的概念（设在有定义）（1）若，则称在处连续（2）若，则称在处连续连续的三条件：由定义；；（3）若，则称在处左连续；若，则称在处右连续；若在内连续，在处右连续，在处左连续，则称在上连续。2.间断点及其分类（1）若在处不连续，则称点为的间断点。（2）左右极限都存在的间断点称为第一类间断点（跳跃间断和可去间断）；左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点（无穷间断和振荡间断）。3.初等函数的连续性（1）若，均在处连续，则；；

5、（），在处也连续。（2）若，，则，且（交换符号次序）；21第2章极限与连续（变量代换）特别地，若，，则（3）若函数在某区间上单值、单调、连续，则其反函数在相应区间上也单值、单调、连续。4.闭区间上连续函数的性质有界与最值定理：若在上连续，则在上有界，且必有最大值（）与最小值（）。介值定理：若在上连续，则对介于两端点之间的任意实数，至少有一点，使得，或，至少有一点，使得零点定理：若在上连续，且，则至少存在一点，使得。注意：基本初等函数在其定义区间内连续；一切初等函数在其定义区间内连续。§2.3典型例题解析1．利用定义求数列

6、的极限解题思路利用恒等变形和不等式的缩放化简，求出与的关系或利用已知关系，确定的取值。例1求证下列各题（2）已知，，证明；证由于，，，当时，有；由于，，，当时，有；取，则当时，有，即（3）已知，且，证明。证由于，，，当时，有又，则21第2章极限与连续或，则2．利用初等变换求极限解题思路利用已知展开式、分子分母同乘共轭因子、变量代换、恒等变形等求解例2求下列极限（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）（1）解（2）解原式（3）解原式（4）解（5）解；，故不存在（6）解原式3．无穷小的比较、利用等价无穷小求极限解题思路2

7、1第2章极限与连续（1）利用极限，确定是的阶无穷小；（2）熟记等价无穷小的公式。一般乘除情形才能替换，加减情形：若拆项分别极限存在（分母不为零）可替换，若拆项分别极限不存在可考虑用无穷小的主部原则或泰勒展开式求解。例3求解下列各题（1）当时，是的多少阶无穷小；解是的二阶无穷小（3）当时，与是同阶无穷小，求的值解令，原式例4求下列极限（2）（2）解（4）（4）解原式（5）；（5）解原式（6）21第2章极限与连续（6）解法1原式解法24．利用公式求极限例5求下列极限（1）（1）解法1令，解法2（2）（2）解（3）（3）解因为

8、所以（4）21第2章极限与连续（4）解法1解法2解法3，且，故5．利用无穷大与无穷小的主部原则求极限例6求下列极限（1）；（1）解法1原式解法2原式（2）；（2）解法1原式解法2原式（3）（3）解（4）（4）解；；21第2章极限与连续例7求下列极限（1）；（2）分析：当时，，；，，；均是的高阶无穷小，求极限时可略去（