大学高等数学(高数)__函数、极限与连续

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1、第一章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，

2、以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述.第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变

3、量取值范围常用区间来表示.满足不等式的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为，即；满足不等式的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为，即；满足不等式(或)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为(或)，即(或)，左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数，称为区间的端点.以上这些区间都称为有限区间.数称为区间的长度.此外还有无限区间：，，，，，等等.这里记号“”与“”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”.邻域也是常用的一类区间.设是一个给定的实数，是某一正数，称数集:为点的邻域，记作.即称点为该邻域的中心，为该邻域的半径(见图1-1).称为的去心邻域，记作，即图1-

4、1下面两个数集，，分别称为的左邻域和右邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用，分别表示的某邻域和的某去心邻域，，分别表示的某左邻域和的某右邻域.二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖关系，称为函数关系.定义1设，是两个实数集，如果有某一法则，使得对于每个数，均有一个确定的数与之对应，则称是从到内的函数.习惯上，就说是的函数，记作其中，称为自变量，称为因变量，表示函数

5、在处的函数值.数集称为函数的定义域，记为；数集称为函数的值域，记作.从上述概念可知，通常函数是指对应法则，但习惯上用“”表示函数，此时应理解为“由对应关系所确定的函数”.确定一个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间的函数中，通常取非负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的自变量的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应

6、关系，三角函数表列出了角度与三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方法，分别称为图示法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数都是用公式法表示的函数.从几何上看，在平面直角坐标系中，点集称为函数的图像（如图1-2所示）.函数的图像通常是一条曲线，也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨.现在我们举一个具体函数的例子.图1-2例1求函数的定义域.解要使

7、数学式子有意义，必须满足即由此有，因此函数的定义域为.有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数.例2绝对值函数的定义域，值域，如图1-3所示.例3符号函数的定义域，值域，如图1－4所示. 图1-3图1-4例4最大取整函数，其中表示不超过x的最大整数.例如，，，，等等.函数的定义域，值域.一般地，，，，如图1-5所示.图1-5在函数的定义中，对每个，对应的函数值总是唯一的，这样定义