与球有关的切、接问题(有答案)

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1、与球有关的切、接问题1.球的表面积公式:S=4πR2;球的体积公式V=πR32.与球有关的切、接问题中常见的组合:(1)正四面体与球:如图,设正四面体的棱长为a,内切球的半径为r,外接球的半径为R,取AB的中点为D,连接CD,SE为正四面体的高,在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O.此时,CO=OS=R,OE=r,SE=a,CE=a,则有R+r=a,R2-r2=

2、CE

3、2=,解得R=a,r=a.(2)正方体与球:①正方体的内切球:截面图为正方形EFHG的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为a,

4、则

5、OJ

6、=r=(r为内切球半径).②与正方体各棱相切的球:截面图为正方形EFHG的外接圆,则

7、GO

8、=R=a.③正方体的外接球:截面图为正方形ACC1A1的外接圆,则

9、A1O

10、=R′=a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合.如图,设AA1=a,则R=a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R2==(

11、l为长方体的体对角线长).角度一:正四面体的内切球1.(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则=6________.解析:设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S1=4··a2=a2,其内切球半径为正四面体高的,即r=·a=a,因此内切球表面积为S2=4πr2=,则==.角度二:直三棱柱的外接球2.(2015·唐山统考)如图,直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为(  )A.2 B.1C.D.解析:选C 由题意知,球心在侧面BCC1B

12、1的中心O上,BC为截面圆的直径,∴∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中心.设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),∴2+2=1,即x=,则AB=AC=1,∴S矩形ABB1A1=×1=.角度三:正方体的外接球3.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形),则该几何体外接球的体积为________.解析:依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的直径就是正方体的体对角线;∴2R=2(R为球的半径

13、),∴R=,∴球的体积V=πR3=4π.答案:4π角度四:四棱锥的外接球4.(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,6底面边长为2,则该球的表面积为(  )A.B.16πC.9πD.解析:选A 如图所示,设球半径为R,底面中心为O′且球心为O,∵正四棱锥PABCD中AB=2,∴AO′=.∵PO′=4,∴在Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2,∴R2=()2+(4-R)2,解得R=,∴该球的表面积为4πR2=4π×2=,故选A.[类题通法]“切”“接”问题的处理规律1.“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先

14、要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.2.“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.[牛刀小试]1.(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于(  )A.100π B.C.25πD.解析:选A 易知该几何体为球,其半径为5,则表面积为S=4πR2=100π.2.(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的

15、体积为(  )A.B.4πC.2πD.解析:选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=×13=.故选D.3.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为6时,其高的值为(  )A.3B.C.2D.2解析:选D 设正六棱柱的高为h,则可得()2+=32,解得h=2.4.(2015·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起,得到四面体ABCD,则四面体ABCD的外接球的体积为________.解析:设AC与BD相交于O,折起来后仍然有

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