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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（A）（B）（C）（D）2．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（A）（B）（C）（D）3．阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为(A)7(B)6(C)5(D)44．设,则“”是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5．已知
2、过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则(A)(B)1(C)2(D)6．函数在区间上的最小值是(A)(B)(C)(D)07．已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是(A)(B)(C)(D)8．设函数.若实数a,b满足,则(A)(B)(C)(D)二．填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．i是虚数单位.复数(3+i)(1－2i)=.10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.11．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为
3、2,则该双曲线的方程为.12．在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为.13．如图,在圆内接梯形ABCD中,AB//DC,过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.14．设a+b=2,b>0,则的最小值为.三．解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为，，，用综合指标评价该产品的等级．若，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如
4、下：产品编号质量指标产品编号质量指标（I）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（II）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标都等于4”，求事件发生的概率．16．(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,a=3,.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求的值.17．(本小题满分13分)如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，，，分别为棱，，的中点．（I）证明：平面；（II）证明：平面平面；（III
5、）求直线与平面所成角的正弦值．18．(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（I）求椭圆的方程；（II）设，分别为椭圆的左、右定点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值．19．(本小题满分14分)已知首项为的等比数列的前n项和为,且成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明.20．(本小题满分14分)设,已知函数(Ⅰ)证明在区间(－1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(Ⅱ)设曲线在点处的切线相互平行,且证明.参考答案一、选择题1．D解：因为,
6、所以，选D.2．A解：由得。作出可行域如图平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即代入得，选A.3．D解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，满足条件输出，选D.4．A解：若，则，即。若时，所以是的充分而不必要条件，选A.5．C解：设直线斜率为，则直线方程为，即，圆心到直线的距离，即，解得。因为直线与直线垂直，所以，即,选C.6．B解：当时，，，所以当时，函数的最小值为，选B.7．C解：因为函数是定义在R上的偶函数，且，所以，即，因为函数在区间单调递增，所以，即，所
7、以，解得，即a的取值范围是，选C.8．A解：由得，分别令，。在坐标系中分别作出函数，的图象，由图象知。此时，所以又。，所以，即，选A.法三：在R上为单调增函数，，，的零点．在上为单调增函数，，，的零点．所以，则.法四：在同一直角坐标系下画出，，，的图象，易得与的交点，及与的交点，显然．在上为单调增函数，．又在上为单调增函数，．．9．解：(3+i)(1－2i)。10．解：设正方体的棱长为，则正方体的体对角线为直径，即，即球半径。若球的体积为，即，解得。11．解：抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在准线上，所以，即，
8、且双曲线的焦点在轴上。又双曲线的离心率为2，即，解得，所以，所以双曲线的方程为。12．解：因为E为CD的中点，所以.因为，所以，即，所以，解得。解法2设.，ABCDE，，.解法3：以为坐标原点，所在直线为轴，建系如图ABCDExy则，设则，，.13．解：连结AC,则，所以梯形ABCD为等腰梯形，所以，所以，所以,所以.又,即，整理
