定积分与微积分基本定理.doc

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1、3.4定积分与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫dx相等的是(　　)．A.∫sindxB.∫dxC.D．以上结论都不对解析　∵1－cosx＝2sin2，∴∫dx＝∫

2、sin

3、dx＝∫

4、sin

5、dx.答案　B2.已知f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx＝(　　)A．0B．4C．8D．16解析－6f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.答案D3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)．A.mB.mC.mD.m解析　v＝40－10t2＝0，t＝2，(4

6、0－10t2)dt＝＝40×2－×8＝(m)．答案　A4．一物体以v＝9.8t＋6.5(单位：m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4s内经过的路程是(　　)A．260mB．258mC．259mD．261.2m解析(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.答案D　5．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)．A.B．4C.D．6解析　由y＝及y＝x－2可得，x＝4，所以由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积

7、为(－x＋2)dx＝＝.答案　C6．已知a＝2，n∈N*，b＝x2dx，则a，b的大小关系是(　　)．A．a>bB．a＝bC．a

8、0＝1.答案　C二、填空题8．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为______．解析由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝

9、100x，100xdx＝0.18(J)．答案0.18J9．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．答案　－ln210．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于_________．解析(2x－3x2)dx＝2xdx－3x2dx＝x2＝k2－k3＝0，∴k＝0或k＝1.答案0或111．

10、3－2x

11、dx＝________.解析　∵

12、3－2x

13、＝∴

14、3－2x

15、dx＝∫1(3－2x)dx＋(2x－3)dx＝1＋(x2－3x)

16、2＝.答案　12．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成

17、图形的面积为________．解析　如图所示，因为y′＝－2x＋4，y′

18、x＝1＝2，y′

19、x＝3＝－2，两切线方程为y＝2(x－1)和y＝－2(x－3)．由得x＝2.所以S＝[2(x－1)－(－x2＋4x－3)]dx＋[－2(x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＝(x2－2x＋1)dx＋(x2－6x＋9)dx＝＋＝.答案　三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x，y)

20、－2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解析　区域Ω的面积为S1＝16.图中阴影部

21、分的面积S2＝S1－＝.设落在阴影部分的豆子数为m，由已知条件＝，即m＝＝600.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．14．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解析　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝.又由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝∫(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.15．曲线C：y＝2x3－

22、3x2－2x＋1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．解析　设切点坐标为(x0，y0)y′＝6x2－6x－2，则y′

23、x＝x0＝6x－6x0－2，切线方程为y＝(6x－6x0－2)，则y0＝(6x－6x0－2)，即2x－3x－2x0＋1＝(6x－6x0－2).整理得x0(4x－6x0＋3)＝0，解得x0＝0，则切线方程为y＝－2x＋1.解方程组得或由y＝2x3－3x2－2x＋1与y＝－2x＋1的图象可知S＝∫0[(－2x＋1)－(2x3－3x2－2x＋1)]dx＝∫0(－2x3＋3x2)dx＝.16.已知二次函数f(x)＝3x2－3

24、x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0