定积分与微积分基本定理(2)

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1、东北师大附中2011—2012学年高三数学（理科）第一轮复习导学案016定积分与微积分基本定理编写教师：冯维丽审稿教师：高长玉一、知识梳理（请阅读教材选修2-2第38—67页后再完成本学案）1.定积分概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：，如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限接近某个常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：．其中叫做被积函数，叫做积分变量，区间叫做积分区间，积分上限，积分下限，叫做被积式.2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由

2、直线，（），和曲线所围成的曲边梯形的面积（如右图）.说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线，之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．3．定积分性质（1）；（定积分的线性性质）（2）（定积分的线性性质）（3）（定积分对积分区间的可加性）4．微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式.（1）为了方便起见，还常用表示，即.（2）微积分基本定理表明，计算定积分的关键是找到满足的函数，通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出

3、.5．常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）6.几种典型的曲边梯形面积的计算方法（1）由三条直线、（）、轴，一条曲线所围成的曲边梯形的面积：；（2）由三条直线、（）、轴，一条曲线所围成的曲边梯形的面积：；（3）由两条直线、（）、两条曲线、所围成的曲边梯形的面积：.二、题型探究6探究一：定积分的计算题型Ⅰ——计算常见函数的定积分例1计算下列定积分：（1）；（2）；（3）.分析：对于（1）、（2），根据微积分基本定理，须由求导公式找出导数为，，，的函数，这就要求对基本求导公式非常熟悉.对于（3），我们要直接求的原函数比较困难，但我们可

4、以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.解：（1），且，，.（2），，.（3）.点评：简单的定积分计算只需熟记公式即可；较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.例2已知，，求函数的最小值.分析：这里函数、都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿—莱布尼兹公式求出与，再求出的最小值.解：，，当时，.点评：这是一道把积分上限函数、二次函数最值、参数混合在一起的综合题，重点是要分清各变量关系.积分、导数、函数单调性、最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关

5、系弄清是我们解此类问题的关键.题型Ⅱ——计算分段函数定积分例3求.解：首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，再换元积分或凑变量完成.解：，.，.点评：若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种凑变量的思想，复合函数的积分通常可以凑变量完成，也可以换元完成.6探究二：定积分的应用题型Ⅰ——求平面区域的面积例4求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.分析：因为在上，，其图象在轴上方；在上，，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.解xy0p2p：作出

6、在上的图象如右，与轴交于0、、，所求面积.点评：利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围；第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；第四步：计算定积分，求出平面图形面积.题型Ⅱ——定积分在物理方面的应用例5汽车以的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？分析：汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解：由题意，，，令得，，即5秒时

7、，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为公里.答：汽车走了0.0375公里.tvaboV=v(t)点评：若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在时间内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程；如果时，则路程.三、方法提升1.用定义求定积分的一般方法：（1）分割：等分区间；（2）近似代替：取点；（3）求和：；（4）取极限：.2.定积分的几何意义、物理意义；3.利用微积分基本定理求定积分；4.变速直线运动问题：若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在时间内的路程s是曲

8、边梯形（阴