导数应用题(解析)

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1、1.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．解：（I）设容器的容积为V，由题意知故由于因此所以建造费用因此（II）由（I）得由于当令（1）当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点。（2）当即时，当函数单调递减，所以r=

2、2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时2.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。P解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为

3、a（cm），由已知得（1）所以当时，S取得最大值.（2）()由（舍）或x=20.当时，所以x=20时，V取得极大值，也是最小值.此时装盒的高与底面边长的比值为大。3.如图，在交AC于点D,现将（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为解：（1）设，则令则单调递增极大值单调递减由上表易知：当时，有取最大值。证明：作得中点F，连接EF、FP，由已知得：为等腰直角三角形，，所以.4.江西理19）设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.【解析】（1）在上

4、存在单调递增区间，即存在某个子区间使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间.（2）令，得两根，，.所以在，上单调递减，在上单调递增当时，有，所以在上的最大值为又，即所以在上的最小值为，得，，从而在上的最大值为.