海淀区高三数学查漏补缺题

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海淀区高三数学查漏补缺题2010年5月一、函数部分：1．已知函数（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围.2．设.（I）求的单调区间与极值；（II）求方程的实数解的个数.3．如图，矩形ABCD内接于由函数图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在上，求矩形ABCD面积的最大值.xO1CDBA精品教育文档 二、数列部分：1．设数列的前项和．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）若，且，求数列的前项和．2．数列满足，（）（Ⅰ）当时，求及；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；三、统计与概率部分：1．（理科学生做）某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；精品教育文档 （Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖.如果前三道题都答错，就不再答第四题.某同学进入决赛，每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为，求的分布列及数学期望．2．（理科学生做）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.　（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；　（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；②求取出的红球数X的分布列和数学期望.3．（文科、理科学生做）已知，（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求的概率．（Ⅱ）若是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，求的夹角是锐角的概率．精品教育文档 4．（文科学生做）一个袋中装有大小相同的黑球和红球，已知袋中共有5个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是.现将黑球和红球分别从数字1开始顺次编号.（Ⅰ）若从袋中有放回地取出两个球，每次只取出一个球，求取出的两个球上编号为相同数字的概率.（Ⅱ）若从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回.求取出的两个球上编号之积为奇数的概率．5．（文科学生做）据统计，从5月1日到5月7号参观上海世博会的人数如下表所示：日期1日2日3日4日5日6日7日人数（万）2123131591214其中，5月1日到5月3日为指定参观日，5月4日到5月7日为非指定参观日.（Ⅰ）把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的平均数（精确到0.1）；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万的概率.四、解析几何部分1．如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点精品教育文档 （1）若是的中点，求证：.（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.2．（理科学生做）已知圆，动圆与定圆在轴的同侧且与轴相切,与定圆相外切.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．3．（理科学生做）已知是抛物线上两个动点，且直线与直线的倾斜角之和为，试证明直线过定点.精品教育文档 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设，过点的直线与椭圆C相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围.参考答案1．解：（Ⅰ）令当是增函数当是减函数∴（Ⅱ）（i）当时，，由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数.又当时，所以，的图象在上有公共点，等价于解得.（ii）当时，上是增函数，精品教育文档 ∴,所以原问题等价于又∴无解说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用：给函数解析式之后，能否通过研究函数的工具导数研究函数的变化趋势，通过研究函数在区间的端点处的函数值或符号进一步了解函数的准确的变化状态.此题也可以做如下引申：“若函数的图象与函数的图象在区间上有两个公共点，求实数a的取值范围.”2．解：（I），由得或.--单增极大值单减极小值单增所以，的单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为．（II）由于，所以，．当时，，即是方程的一个解.又因为，所以,方程在内至少有一个解.根据函数单调性可知，方程有两个不同的解.②当时，，即是方程的一个解.又因为，精品教育文档 所以方程在内至少有一个解.根据函数单调性可知，方程有两个不同的解.③当时，，，所以方程在内至少有一个解．又由，知方程在内至少有一个解；由，知方程在内至少有一个解.根据函数单调性可知，方程有三个不同的解.说明：通过本题考查学生几个方面的能力：（1）能否将“求方程的实数解的个数”问题转化为函数的零点问题；（2）对于函数问题，是否能够主动运用导数这一工具来研究函数整体的状态、性质.3．解：由图，设A点坐标为,,则，由图可得，记矩形ABCD的面积为S，易得令，得所以，令，得，因为，所以.随t的变化情况如下表：t+0-极大值由上表可知，当，即时，S取得最大值为，所以矩形ABCD面积的最大值为.说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.二、数列部分：精品教育文档 1．（Ⅰ）证：因为，，所以当时，，整理得.由，令，得，解得.所以是首项为，公比是的等比数列.（Ⅱ）解：由，得.所以从而..说明：数列的与问题是数列的基本问题，通过两者之间的转化达到解决问题的目的是学生应该落实的.本题的第一问也可以改为“求数列的通项”或“求数列的前n项和”，提高思维的强度.2．解：(Ⅰ)，故，所以.（Ⅱ），，精品教育文档 ，若数列为等差数列，则方程没有实根，故不存在，使得数列为等差数列.若数列为等比数列，则，即解得：.将个式子相加，，又符合条件，，故数列为等比数列．通项公式为说明：本题给出的是数列与两项之间的递推形式.在第二问中，通过特殊方法，得到的值，要注意引导学生理解结果并非充要条件，而是必要不充分条件，所以需要进一步的验证，而且在验证过程中，使用了叠加法，可以为学生说明其结构形式和解题策略要让学生掌握归纳的思想，学会从特殊到一般的思考数学问题的思维过程.三、统计与概率部分：1．（理科学生做）解：（Ⅰ）①8②0.44③6④0.12（Ⅱ）由（Ⅰ）得，P=0.4①该同学恰好答对4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道题.第4道也能够答对才获得一等奖，则有②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4.即X=2、3、4精品教育文档 分布列为：说明：本题考查统计问题：用样本估计总体，考查概率问题：满足特殊条件的概率的事件如何求其概率，要求同学把条件真正弄清楚之后，再动手进行计算.同时还要求同学们分清一些典型的分布问题.2．（理科学生做）解：（Ⅰ）记“取出1个红球2个黑球”为事件A，根据题意有；答：取出1个红球2个黑球的概率是.（Ⅱ）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B，“第3次取出黑球”为事件C，则，，所以方法二：答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是．②随机变量X的所有取值为0，1，2，3.，，，.所以．精品教育文档 说明：首先让学生清楚有放回与无放回这两种模型的区别，应该清楚每种情况对应的基本事件空间是谁，同时要弄清楚序的问题，一个总的问题：分子和分母同时有序或无序.还要注意条件概率问题中的相关定义，谁是条件.3．（文科、理科学生做）解：（Ⅰ）设“”为事件，由，得共包含12个基本事件；其中，包含2个基本事件.则（Ⅱ）设“的夹角是锐角”为事件，由的夹角是锐角，可得，即,且则答：（Ⅰ）的概率是；（Ⅱ）的夹角是锐角的概率是说明：对于文科学生来讲，古典概型和几何概型是两种重要的概率模型.要注意分清两种概率模型的基本特征，并注意解题的规范性.4．（文科学生做）解：设袋中有个黑球，则由已知可得，即所以，袋中有两个黑球，编号分别为1，2；袋中有3个红球，编号分别为1，2，3.（Ⅰ）设“取出的两个球上编号为相同数字”为事件共包含25个基本事件；其中｛（黑１，黑１），（黑２，黑２），（红１，红１），（红２，红２），（红３，红３），精品教育文档 （黑１，红１），（黑２，红２），（红１，黑１），（红２，黑２）｝，包含９个基本事件.则（Ⅱ）设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件共包含20个基本事件；其中，包含6个基本事件.则答：（Ⅰ）取出的两个球上编号为相同数字的概率是.（Ⅱ）取出的两个球上编号之积为奇数的概率是.命题意图：两个问题分别为有放回的事件和无放回的事件，在这两种不同的情况下，基本事件空间是不同的.建议对于两次取球或两次掷骰子等问题，在列举基本事件的时候，最好考虑有顺序的列举，不容易出错.5．（文科学生做）解：（Ⅰ）总体平均数为（Ⅱ）设Ａ表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万”从非指定参观日中抽取２天全部可能的基本结果有：(15,9),(15,12),(15,14),(9,12),(9,14),(12,14),共有6个基本结果；事件Ａ包含的基本结果有：(15,12),(15,14),共有2个基本结果．所以，所求的概率为说明：此题将概率问题与统计问题简单综合，既考查了概率的计算，又体现了用样本估计总体的重要的统计思想.四、解析几何部分1．（1）解:由题意得，精品教育文档 又点在椭圆上，且在轴上方，得（2）（方法一）设，其中圆过三点，圆心在线段的中垂线上设圆心为，半径为，有，，，当且仅当即时取“=”.的取值范围是（方法二）解：设，其中，圆过三点，设该圆的方程为，有解得圆心为半径，，当且仅当即时取“=”，的取值范围是精品教育文档 说明：此题的第1问用向量方法去证明垂直问题，既体现了向量与解析几何的综合，又体现了解析几何中重要的基本思想：用代数方法解决几何问题.第2问考查了与圆有关的基本问题及典型方法——如何求圆的方程及如何计算圆的弦长.2．（理科学生做）解：（Ⅰ）设动圆的半径为，则.设，根据圆与轴相切，以及动圆与定圆在轴的同侧，可得，所以，.化简得：.所以，动点的轨迹的方程为.（Ⅱ）设，则以为直径的圆的圆心为，半径，若存在满足题意的直线，设方程为，则圆心到该直线的距离为.根据勾股定理，可得：该直线被圆所截得的弦长满足：，即要使为定值，需且只需.所以，存在垂直于轴的直线：，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值，定值为2.说明：本题通过直接法得到抛物线的轨迹方程，有助于学生进一步梳理抛物线的概念，要注意的发现.第二问实际考查的是直线与圆的位置关系问题，要求学生尽量利用几何条件解题：弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，知二求一.3．（理科学生做）解：显然，直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入，得：.精品教育文档 设，，则：设直线与直线的倾斜角分别为，则，又，所以，.即，直线的方程为，即，所以，直线恒过定点.说明：本题要求学生能够掌握用代数方法解决几何问题的一般方法：研究直线过定点的问题就要通过直线AB的方程讨论问题，也就是要找到与的关系.为此，直线AB与抛物线交于不同的两个点及对于条件“直线与直线的倾斜角之和为”进行必要的有效的代数化就成为解决本题的主要任务.4．解:（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知，所以故椭圆C的方程为.（Ⅱ）显然直线的斜率存在，所以可设直线的方程为.如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，精品教育文档 由得．由解得．因为是方程①的两根，所以，于是=，因为，所以点G不可能在轴的右边，又直线,方程分别为所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为即亦即解得，此时②也成立．2故直线斜率的取值范围是说明：本题通过正方形的面积转化为边长，要求学生能通过椭圆的定义，得到椭圆的相关基本量.第二问对于“线段的中点落在正方形内（包括边界）”是学生的思维难点，进行有效的代数化是解题的关键.可以让学生回忆数学中关于平面区域中位置的判断方法，找到它的充要条件.精品教育文档 精品教育文档