[物理]流体计算理论基础

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1、流体计算理论基础1三大基本方程1.1连续性方程连续性方程也称质量守恒方程，任何流动问题都必须满足质量守恒定律，该定律可表示为：单位时间内流体微元中质量的增加等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量，其形式如下：可以写成：其中密度，t为时间，为速度矢量，，和为速度矢量在x，y和z方向上的分量。若流体不可压缩，密度为常数，于是：若流体处于稳态，则密度不随时间变化，可得出：1.2动量守恒定律该定律可以表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和，该定律实际是牛顿第二定律，按照这一定律，可导出x，y和z三个方向上的动量守恒方程：式中，为微元体上的压

2、力，，和等是因分子粘性作用而产生的作用在微元体表面上的粘性应力的分量。，和是微元体上的体力，若体力只有重力，且z轴竖直向上，则：，。对于牛顿流体，粘性应力与流体的变形率成比率，有：其中，为动力粘度，为第二粘度，一般可取，将上式代入前式中为：其中：为动力粘度(dynamicviscosity)，为第二粘度(secondviscosity),一般可取：(参考文献：H.Schlichting,BoundaryLayerTheory,8thed,McGrawHill,NewYork,1979)。,和为动量守恒方程中的广义源项，，，，而其中，和表达式为：一般来讲，，和是体积力在x

3、，y，z方向上的分量。，和是小量，对于粘性为常数的不可压缩流体，，动量守恒，简称动量方程，也称N-S方程。关于牛顿体与非牛顿体的定义如下：流体的内摩擦剪切力由牛顿内摩擦定律决定：其中，为沿法线方向的距离增量，对应于的流体速度的增量，为法向距离上的速度变化率，所以，牛顿内摩擦定律表示：流体的内摩擦应力和单位距离上的两层流体间的相对速度成比例，比例系数称为流体的动力粘度，常称为粘度，单位为：若为常数，则该类流体为牛顿流体，否则为非牛顿体，空气，水等均为牛顿体；聚合物溶液，含有悬浮粒杂质或纤维的流体为非牛顿体。对于牛顿流体，通常用和[质量]密度的比值代替动力粘度称为运动粘度，

4、单位。1.3能量守恒方程该方程可以描述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体力与面力对微元体所做的功，实际为热力学第一定律。为流体传热系数，为比热容，T为温度，为流体内热源及由于粘性作用流体机械能转换为热能的部分，有时简称为粘性耗散项。以上三大基本方程参考：《计算流体动力学分析：CFD软件原理与应用》_王福军2通用控制方程上面的基本方程可以写成下面的通用形式：展开为：其中为通用变量，可以代表，和以及T等求解变量，为广义扩散系数，为广义源项。2几种数值求解方法2.1有限差分法主要的思路是用差商代替微商,来近似的表示微分方程.其形式简单,对任意复杂的偏微分方

5、程都可以写成其对应的差分方程,但是微分方程中各项的物理意义和微分方程所反映的物理定律(如守恒定律)在差分方程中所表现的特点,在差分方程中没有得到体现.只是微分方程的数学近似,没有反映物理特性,计算结果可能表现出某些不合理现象.2.2有限元法20世纪60年代出现,离散方程获得的方法主要有:直接刚度法,虚功原理推导,泛函原理推导或加权余量法推导.有限元法的优点是解题能力强,可以较精确的模拟各种复杂的曲线或曲面边界,网格划分比较随意,可以统一处理多种边界条件,离散方程形式规范,便于编写通用程序,但在应用流体流动和传热原理中却遇到了一些困难,其原因可归结为按加权余量法推导出的有

6、限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似,当处理流动和传热问题的守恒性,强对流,不可压缩条件等方面的要求时,有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释,对计算中出现的一些误差也难以进行改进,因此有限元法在流体力学和传热学中的应用还存在一些问题.2.3有限体积法FVM(或控制体积法CVM)将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程对每一个控制体积积分，从而得到一组离散方程，其中的未知数是网格上的因变量，为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，从积分区域的选取方法看，有限体积法属于加权余量法中的子域法，从未知解的近

7、似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法，简而言之，子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。有限体积法得到的离散方程，要求因变量的积分守恒对于任意的一组控制体积都满足，对于整个计算区域，自然满足，这个是有限体积法吸引人的优点。有些离散方法，例如有限差分，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限体积法在粗网格的情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而已，有限体积法可视为有限元法和有限差分法的中间产物，有限元法必须假定值在网格节点间的变化规律（即插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑在网格点