求函数定义域和值域方法和典型题归纳

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1、<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y

2、y=f(x),x∈A}。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示

3、：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：{y

4、y=f(x),x∈A}。（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见

5、要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量

6、同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(7形如：)2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；（2）在同一个题中x不是同一个x；（3）只要对应关系f不

7、变，括号的取值范围不变。（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x的取值范围是[-1,1]）∴；（x+1的取值范围就是括号的取值范围）∴f(x)的定义域为[0,2]；（f不变，括号的取值范围不变）∴f(2x-1)中∴∴f(2x-1)的定义域为3.复合函数定义域复合函数形如：,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几

8、个函数组成一个新的函数形式。例2：分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解：由f(x)的定义域为（-2,3），则f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；，解得0

9、数的定义域（2）求下列函数的定义域(3)与函数定义域有关的问题题①若函数的定义域为R，求实数m的取值范围。②函数的定义域为R，求k的取值范围。③函数的定义域为R，求m的取值范围。2.求抽象数定义域①若函数f(x)的定义域为（-2,6），求的定义域。②若数求函数的定义域。③若数求函数的定义域。④若函数，求函数g(x)的定义域。7⑤若，，令F（x）=f(x)-g(x),求F（x）的定义域。二、求函数值域（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根

10、据图象来看出y值的取值范围。2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。例1：求解：配方：f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）