求函数定义域和值域方法和典型题归纳

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1、.WORD完美.格式编辑.<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义:设集合A和B是非空数集,按照某一确定的对应关系f,使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f),②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y

2、y=f(x),x∈A}。3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是:(1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。

3、(2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4.值域:是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。(1)明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合:{y

4、y=f(x),x∈A}。(2)明白定义中集合B是包括值域,但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域(一)求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。(1)常

5、见要是满足有意义的情况简总:①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0;②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0.④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1)⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在

6、底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于1.()注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。(2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.如:)2.抽象函数(没有解析式的函数)解题的方法精髓是“换元法”,根据换元的思想,我们进行将括号为整体的换元思路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为:(1)给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围;(2)在同一个题中x不是同一个x

7、;(3)只要对应关系f不变,括号的取值范围不变。(4)求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围,及括号的取值范围。例1:已知f(x+1)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。解:∵f(x+1)的定义域为[-1,1];(及其中x的取值范围是[-1,1])∴;(x+1的取值范围就是括号的取值范围)∴f(x)的定义域为[0,2];(f不变,括号的取值范围不变)∴f(2x-1)中∴∴f(2x-1)的定义域为3.复合函数定义域复合函数形如:,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数,或

8、是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例2:分析:由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算,所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域,再根据求函数定义域要所有式子同时满足,即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解:由f(x)的定义域为(-2,3),则f(x+1)的定义域为(-3,2),f(x-2)的定义域为(0,4);,解得0

9、定义域的典型题1.已知函数解析式(1)求下列函数的定义域(2)求下列函数的定义域(3)与函数定义域有关的问题题①若函数的定义域为R,求实数m的取值范围。②函数的定义域为R,求k的取值范围。③函数的定义域为R,求m的取值范围。2.求抽象数定义域①若函数f(x)的定义域为(-2,6),求的定义域。②若数求函数的定义域。③若数求函数的定义域。④若函数,求函数g(x)的定义域。.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.⑤若,,令F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的定义域。二、求函数值域(一)求函数值域方法

10、和情形总结1.直接观察法(利用函数图象)一般用于给出图象或是常见的函数的情形,根据图象来看出y值的取值范围。2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数,此时注意对称轴的位置,在定义域范围内(以a<0为例),此时对称轴的地方为最大值,定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值;对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点:(1)含参数的二次型函数,首先判断是否为二次型,即讨论

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