x年北京四中高考数学二轮复习知识梳理平面向量的数量积及应用（提高）

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1、平面向量的数量积及应用【考纲要求】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【知识网络】平面向量数量积及应用平面向量的数量积平面向量的应用平面向量的坐标运算【考点梳理】考点一、向量的数量积1.定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为q，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，

2、即.规定：零向量与任一向量的数量积为0.要点诠释：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定.（2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0°≤q≤180°.此外，由于向量具有方向性，一定要找准q是哪个角.2.平面向量的数量积的几何意义我们规定叫做向量在方向上的投影，当q为锐角时，为正值；当q为钝角时，为负值；当q=0°时，；当q=90°时，；当q=180°时，.的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.要点诠释：在方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3

3、.性质：（1）(2)当与同向时，；当与反向时，.特别地(3)(4)4.运算律设已知向量、、和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(1)(交换律)(2)(3)要点诠释：①当时，由不一定能推出，这是因为对任何一个与垂直的向量，都有；当时，也不一定能推出，因为由，得，即与垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.②对于实数，有，但对于向量来说，不一定相等，这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以与不一定相等.5.向量的数量积的坐标运算①已知两个非零向量，，那么；②若，则；③若，则，这就是平面内两点

4、间的距离公式；④若，则6.重要不等式若，则考点二、向量的应用（1）向量在几何中的应用①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；（）②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；③求夹角问题；利用夹角公式：.平面向量的夹角④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模或.（2）向量在物理中的应用①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；②向量在速度的分解与合成中的应用.【典型例题】类型一、数量积的概念【高清课堂：平面向量的数量积及应用40x96例4】例1．已知向量的夹角为（）A．30°B．60°C．x0°D．150

5、°【解析】∵，∴是共线向量，∴，∴，∴向量和所成角为，又与共线且方向相反，∴向量和所成角为，从而选项C正确.【总结升华】仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到，，是共线向量，从而将和的夹角问题进行有效的转化.举一反三：【变式1】已知向量与的夹角为x0°，，则________【答案】7【解析】,∴.【变式2】已知,,夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值为________.【答案】【解析】由向量的数量积的定义，得∵，,∴设与的夹角为，则∴即向量与的夹角的余弦值为.【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：①；②；③；④；⑤

6、.其中正确的式子有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在时，与才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.例2.若、、均为单位向量，且，，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】方法一：，，又、、均为单位向量，且，，，的最大值为1.方法二：设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则x2+y2=1，=（1―x，―y），=（―x，1―y），则=(1―x)(―x)+(―y)(1―y)

7、=x2+y2―x―y=1―x―y≤0，即x+y≥1.又=（1―x，1―y），∴，①思路一：如图:=（x，y）对应点在上，而①式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.思路二：，由x+y≥1，∴，最大值为1.【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，特别注意有关模的问题一般采用平方解决，考查我们运用知识分析解决问题的能力.注意方法一中的整体代换的思想，注意方法二中转换为代数运算求最值问题.举一反三：【变式1】若、、均为单位向量，且，的最大值为________【答案】【解析】因为、、均为单位向量，且，设=（1，0），=（0，

8、1），,,故的最大值为.【变式2】设向量，，满足，，则的最大值等于（）A．2B．C．D．1【答案】A【解析】由得，设，，，则∠AOB=x0°，，，∵，∴∠ACB=60°，∴O、A、C、B四点共圆。的最大值应为圆的直径2R，在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=x0°，所以，由正弦定理得.