导数在研究函数中的应用

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1、导数在研究函数中的应用　　　　　　　　　　　编稿；周尚达　　　审稿：张扬　　　责编：严春梅目标认知学习目标：　　1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间　　　（多项式函数一般不超过三次）.　　2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用　　　导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.　　3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.重点：　　利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。难点：　　函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问

2、题时有关字母讨论的问题.学习策略：　　①理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。　　②数形结合，体会函数极值与最值的含义。　　③紧紧抓住导函数为0的点，讨论函数的单调区间、极值和最值。知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：　　一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，　　①若，则在这个区间上为增函数；　　②若，则在这个区间上为减函数；　　③若恒有，则在这一区间上为常函数.　　反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．　　注意：　　1．因为导数的几

3、何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数　　　在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区　　　间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。　　2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的　　　情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；　　　在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；　　　在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在　　　区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！　　　例如：而f(x)在R上递增.　　3．只有在某区间内恒有，这个函

4、数在这个区间上才为常数函数.　　4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：　　1.确定函数的定义域；　　2.求导数；　　3.在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区　　　间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.　　　或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无　　　定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小　　　区间，判断在各个小区间内的符号。　　4.写出的单调区间.　　注意：　　1．求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。　　2．求单调

5、区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义　　一般地，设函数在点及其附近有定义，　　（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，　　　　记作；　　（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，　　　　记作.　　极大值与极小值统称极值.　　在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.　　注意：由函数的极值定义可知：　　（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.　　（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是

6、一个局部概念；在函数的整个定义域内可　　　　能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大　　　　或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.　　（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整　　　　个定义区间上的最小值.　　（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值　　　　的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）求函数极值的的基本步骤：　　①确定函数的定义域；　　②求导数；　　③求方程的根；　　④检查在方程根左右的

7、值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右　　　正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)　　注意：　　①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数　　　在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极　　　值点.　　②可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。知识点三：函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理　　若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.　　注意：　　①函数的最