幂函数经典例题(答案)

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1、幂函数的概念例1、下列结论中,正确的是(  )A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析 当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;而当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数.答案 C例2、已知幂

2、函数f(x)=(t3-t+1)x(7+3t-2t2)(t∈Z)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,求实数t的值.分析 关于幂函数y=xα(α∈R,α≠0)的奇偶性问题,设(

3、p

4、、

5、q

6、互质),当q为偶数时,p必为奇数,y=x是非奇非偶函数;当q是奇数时,y=x的奇偶性与p的值相对应.解 ∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1,∴t=-1,1或0.当t=0时,f(x)=x是奇函数;当t=-1时,f(x)=x是偶函数;当t=1时,f(x)=x是偶函数,且和都大于0,在(0,+∞)上为增函数.故t=1且f(x)=x或t=-1且f(x)=x.点评 如果题

7、中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视.例3、如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则(  )A.-11D.n<-1,m>1解析 在(0,1)内取同一值x0,作直线x=x0,与各图象有交点,则“点低指数大”.如图,0x,求x的取值范围.错解 由于x2≥0,x∈R,则由x2>

8、x,可得x∈R.错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征,尤其是y=xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布.正解 作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示),易得x<0或x>1.例5、函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m,再由单调性确定m.解 根据幂函数定义得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数;当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,

9、不符合要求.故f(x)=x3.点评 幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数(也可以为0).这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对本例来说,还要根据单调性验根,以免增根.变式已知y=(m2+2m-2)x+2n-3是幂函数,求m,n的值.解 由题意得,解得,所以m=-3,n=.例6、比较下列各组中两个数的大小:  (1),;(2)0.71.5,0.61.5;(3),.  解析:(1)考查幂函数y=的单调性,在第一象限内函数单调递增,  ∵1.5<1.7,∴<,  (2)考查幂函数y=的单调性,

10、同理0.71.5>0.61.5.  (3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数,  ∵=,=,又>,  ∴>.  点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:  (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;  (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;  (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.例7、比较下列各组数的大小(1)3-与3.1-;(2)-8-与-.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性,当不便利用单调性时,可用0与1去比较,这种方法叫“搭桥”法.解 (1)函数y=x-在(0,+∞)上为减

11、函数,又3<3.1,所以3->3.1-.(2)-8-=-,函数y=x在(0,+∞)上为增函数,又>,则>,从而-8-<-.点评 比较大小的题,要综合考虑函数的性质,特别是单调性的应用,更善于运用“搭桥”法进行分组,常数0和1是常用的参数.变式 比较下列各组数的大小:(1)-与-;(2)4.1,(-1.9)与3.8-.解 (1)-=-,-=-,∵函数y=x-在(0,+∞)上为减函数,又∵>,∴-=-<-=-.(2)(4.1)>1=1,0<3.8-<1-=1,(-1.9)<0,所以(-1.9)<3.8-<(4.1).例8、 已知幂函数y=x3m-9(m

12、∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值随x的增大而减小,求满足(a+1)-<(3-2a)-的a的范围.解 ∵

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