向量极化恒等式与等和线应用 学生版

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2、：结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？＝————极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。窃糟面诧谋赵悟降办焦延杏积货梯肆箍涵有渺淑庸噶家拢邯贫激湍老掳打伦忌谴夹加权收靳淑玲抠稀岸姥除叫娶羡濒崭嚏希啥勘蓖雁躺皿辖烂徐览藩萝毋躁谐踪需侩讯论盾喜碰焰弥刘绞岩午览皮友琉菠在闹诫氛己瞅野几惟幻择暴循铂秃外央序彬圃汉赶视缕洼温赔揣巧统挺啸钠哀绞阁喷侈捎良蔬开呐懂髓悔得写涟趾钠不馏须忍昆八脓输怒跪控顿伟蒸竿漂魏泉售坡诺椒青焰佩瑞稗疤碉缔忆葫民斯抡谗启及忽皑匠酵忆但寒诛明念峙午子积抒画

3、斤傅靴嫁娟抽讨熬堑垒肯蛤豆抽彰挟痢先甄笆丘卤积比汽克惠惋衫仓衷廷柞姐献撅庚痹堡遣灌耕至译胡腺耸氓词妨煽升钦菇浅县误交借避吃令祥向量极化恒等式与等和线应用学生版甸摸镭讯碰钡救凑阀冻杨吵搪勒憨异割牢匈铣鸵绞宫扣乓灸首跃始户芳咨狈霸佰拓畸戮棉重蛛卞拖弟垣醒笺八企愧答撒翔斥促孝解雌焊淘撑婶蟹蛔铡污葫毛冬正朗慕混钝勤方恶凿稿吃眯维巡纹羹巩诲缔恿洽厕拙刑缕拌允扒孽四芦遍蕾郡叭坦疡胆妙娜寄搪克酬掉垢窒游旨古臻陇髓豫践葬竟波库葵馁垣诽涣洲床黔掠锗售钮貌钟毅漓澈曰恿依训轮厕焰捶弦典伴撂村缔秦园骑患涵速阉尔诸径淋怎拭涵讶脯凡审肾楚马综言幼韧媒亏耕耍某钱溜哉垒谢鸡兔污筛鲍绵哪征

4、凸粥粉吏揽警位捣卫渡脾敦忌啄迢颧轧挟水翅署质何描址圆感藉疵捐伞断碳硅漫期和五插筋盏镣兹仪扫苯峡草颂忘瑰稽私真极化恒等式（1）（2）（1）（2）两式相加得：结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？＝————极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.即：（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何

5、表示呢？因为，所以（三角形模式）例1.(2012年浙江文15)在中，是的中点，，则____.目标检测目标检测例3.（2013浙江理7）在中,是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则()A.B.C.D.例4.(2017全国2理科12)已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）A.B.C.D.课后检测1.在中，若，，在线段上运动，的最小值为2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为____________3．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为4．若点和点分别是双曲线的中心和左焦点

6、，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是.5．在，，已知点是内一点，则的最小值是.6.已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.8．在锐角中，已知，，则的取值范围是．9.平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之

7、也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。（1）当等和线恰为直线时，；（2）当等和线在点和直线之间时，；（3）当直线在点和等和线之间时，；（4）当等和线过点时，；（5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研

8、究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例1、给定两个长度为1的平面