极化恒等式(学生版)

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1、课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围；目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题难点根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义阅读以下材料：M图1（1）（2）（1）（2）两式相加得：结论：平行四边形对

2、角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？＝————极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.即：（平行四边形模式）4思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？因为，所以（三角形模式）目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值ABCM例1.(2012年浙江文15)在中，是的中点，，则____.解：因为是的中点，由极化恒等式得：=9-=-16【小结

3、】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。目标检测目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且，所以，（也可用正弦定理求AB）又由极化恒等式得：因为P在圆O上，所以当P在点C处时，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，所以【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测问题、疑惑、错解汇集4能力提升目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题

4、例3.（2013浙江理7）在中,是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则()A.B.C.D.目标检测问题、疑惑汇集知识、方法总结本课的主要学习内容是什么？极化恒等式：平行四边形模型：三角形模型：极化恒等式在处理与_________________有关问题时，显得较有优越性。课后检测1.在中，若，，在线段上运动，的最小值为2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为（）A.B.C.D.3．在中，，，，若是所在平面内一点，且4，则的最大值为4．若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是.5．在，，已知点是内一

5、点，则的最小值是.6.已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.8．在锐角中，已知，，则的取值范围是．极化恒等式在处理与_________________有关问题时，显得较有优越性。4