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《高考数学专题：空间向量与立体几何(含解析)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、立体几何中的向量方法1.（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是（ ）A．B．C．D．[解析]以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,则,A,2.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．解析:不妨设,,,直线与直线夹角为锐角,所以余弦值为,选A.3.（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,,,.(Ⅰ)证明丄;(Ⅱ)求二
2、面角的正弦值;(Ⅲ)设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长.【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.方法一:（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系则（2），设平面的法向量则取是平面的法向量得：二面角的正弦值为（3）设；则，即方法二:(1)证明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.(2)解:如图,作于点,连接,由,可得平面.因此,,从而为二
3、面角的平面角.在中,,由此得,由(1)知,故在中,,因此,所以二面角的正弦值为.4.（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱中,,是棱的中点,(1)证明:(2)求二面角的大小.第一问省略第二问：如图建系:A(0,0,0),P(0,0,),M(,,0),N(,0,0),C(,3,0).设Q(x,y,z),则.∵,∴.由,得:.即:.对于平面AMN:设其法向量为.∵.则.∴.同理对于平面AMN得其法向量为.记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为,则.∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为.5.（2011
4、年安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。（Ⅰ）证明直线∥；（II）求棱锥F—OBED的体积。本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.[来源:Z,xx,k.Com][来源:Z.xx.k.Com]（I）（综合法）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以=∥，OG=OD=2，同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，
5、有[来源:Z&xx&k.Com]又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.==在△GED和△GFD中，由=∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.（向量法）过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知则有所以即得BC∥EF.（II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故所以过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，
6、由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以6.（2011年北京）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求证：平面（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则P（0，—，2），A（0，—，0）
7、，B（1，0，0），C（0，，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（Ⅲ）由（Ⅱ）知设P（0，－，t）（t>0），则设平面PBC的法向量,则所以令则所以同理，平面PDC的法向量因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即解得所以PA=7.（2011年福建）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；（II）设AB=AP．（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点
8、G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。解法一：（I）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）在平面AB
