2009年全国高中数学联合竞赛一试试题

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1、2009年全国高中数学联合竞赛一试试题（考试时间：10月11日上午8∶00—9∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分．把答案填在横线上．1．若函数，且，则．2．已知直线：和圆：，点在直线上，、为圆上两点，在△中，，过圆心，则点横坐标范围为．3．在坐标平面上有两个区域和，为：是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，设和的公共面积是函数，则．4．使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．5．椭圆（）上任意两点，，若，则乘积的最小值为．6．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．7．一个由若干行数字

2、组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）．8．某车站每天8∶00—9∶00，9∶00—10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8∶109∶108∶309∶308∶509∶50概率一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分14分）设直线：

3、（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．（本小题满分15分）已知，（）是实数，方程有两个实根，，数列满足，，（3，4，…）．（I）求数列的通项公式（用，表示）；（II）若，，求的前项和．3．（本小题满分15分）求函数的最大值和最小值．2009年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）（考试时间：10月11日上午9∶40—12∶10）一、如图，，分别为锐角三角形△（）的外接圆上弧、的中点．过点作//交圆于点，为△的内心，连

4、接并延长交圆于．（I）求证：当；（II）在弧（不含点）上任取一点（，，），记△，△的内心分别为，，求证：，，，四点共圆．二、求证不等式：，1，2，…．三、设，是给定的两个正整数．求证：有无穷多个正整数，使得与互素．四、在非负数构成数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，，，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质（O）：对于数表中的任意一列（1，2，…，9）均存在某个{1，2，3}使得{，，}．求证：（I）最小值{，，}，1，2，3一定取自数表的不同列．（II）存在数表中的唯一的一列，1，2，3

5、使得数表仍然具有性质（O），即对于数表中的任意一列（1，2，…，9）均存在某个{1，2，3}使得{，，}．