从平面几何的发展看现代数学课件

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1、从平面几何的发展看现代数学谈胜利二零零四年十二月一日欧几里得几何（~公元前300）总结了公元前7世纪至4世纪希腊的几何成果。研究对象：直线和圆解析几何（17世纪初）笛卡儿和费尔马引进了坐标后几何问题代数问题研究对象：直线和圆锥曲线射影几何（17世纪初）研究对象：直线和二次曲线的射影性质坐标几何微积分解析几何射影几何代数几何Pappus定理（公元300~350）Pascal定理（公元1640）Brianchon定理（~1800s）PQRPQR欧氏平面上的二次曲线椭圆:与无限远直线L不相交的二次曲线抛物线:与L相切的二次曲线双曲线:与L相交两个

2、点的二次曲线圆:与L相交于下述两个固定虚点的二次曲线[1,i,0],[1,-i,0]平行线:相交于无限远处的两直线将P和Q的连线移至无穷远将过P的切线线移至无穷远关于圆的定理ABCbca三次曲线的研究牛顿１７０７证明在坐标变换下三次曲线有标准方程:y2=x3+ax2+bx+c曲线的相交（17世纪开始）牛顿1665年断言：如果虚点包含在内，m次曲线和n次曲线有mn个交点.f(x,y)=0,g(x,y)=0.消元法（我国数学家于12世纪发现，Bezout和欧拉于1764发现明显的算法）：r(x)=f(x,y)u(x,y)+g(x,y)v(x,y).

3、Bezout定理：牛顿的断言正确。完整的证明在十九世纪末才找到。圆锥曲线的定理的推广Chasles定理：设两三次曲线交9个点，如果第三条三次曲线过其中8个点，那么它一定过第九个点。＊这是Pappus定理和Pascal定理的推广。＊欧拉给克莱姆的一封信中提到过此结果。Cayley-Bacharach定理：设两曲线Cm和Cn交mn个点，如果第三条曲线Cm+n-3过其中mn-1个点，那么它　　一定过剩下的点。定理（2000）：设两曲线Cm和Cn交mn个点，如果第三条曲线Cm+n-k过其中mn-(k-2)个点，那么它一定过剩下的k-2个点。注意：推广到曲

4、面上。高维时为猜想，等价于代数　　　几何中著名的Fujita猜想圆锥曲线和三次曲线的差异二次曲线可以用有理函数参数化，三次不行。x=x(t),y=y(t)曲线的复图形不同：直线和二次曲线的图形是球，三次曲线的图形是环面。复曲线的想法来自Riemann(1851),他将多项式方程f(w,z)=0中的w看成是z的多值函数w=h(z),复曲线的图形就是复z-平面的多层覆盖所形成的Riemann面。这导致了现代数学中流形概念的产生。Riemann面的图形为：图形中洞的个数g成为亏格三次曲线又叫椭圆曲线y2=4x3+ax+b因为它与椭圆积分有联系。椭圆积分

5、大致上就是包含三次或四次多项式的平方根的积分，来自椭圆周长的计算。这种联系是由高斯、阿贝尔、Jacobi于1820年代发现，后来被Riemann(1850年代）、Weierstrass(1863)和Poincare(1901)进一步明朗化。例：椭圆曲线可以由Weierstrass的P－函数参　　数化。x=P(u),y=P´(u)椭圆曲线上的群结构（点之间可定义加法）P+0=P;P+V=0;P+Q=Q+P;(P+Q)+R=P+(Q+R).椭圆曲线与现代数论二次曲线上的有理点（坐标为有理数的点）可用参数化的方法完全求出。Mordell(1950):椭

6、圆曲线上的有理点组成一个有限生成的交换子群。即从有限个有理点出发，通过+，-运算可求出所有的有理点。Faltings(1986):亏格g>1的曲线上最多只有有限个有理点。费尔马大定理：不存在非零整数a,b,c使得(n>2)an+bn=cn关于费尔马定理的证明可归结为n=p>4为素数的情形。设a,b,c是其解.G.Frey(1985)构造了一条椭圆曲线(Frey曲线):y2=x(x+ap)(x–bp).他证明此椭圆曲线不是“模曲线”(即不能用“模函数”参数化).Taniyama-Shimura猜测：任何椭圆曲线都是模曲线。1995年，Wiles(T

7、aylor)证明了上述猜测。代数不变量的研究十九世纪,代数几何的一个很重要的研究内容就是代数不变量理论。f(x,y)=a0xn+a1xn-1y+…+anyn判别式D(a0,…,an)、结式R(f,g)、…不变量理论就是研究在坐标变换下“不变”的多项式。D(a0,…,an)=det()pD(a0,…,an)现代几何的研究现代几何就是研究流形。M=U1U2…Un…我们希望通过那些在坐标变换下“不变”的几何量来研究流形M,例如：微分形式。实际上几何上的不变量都来自代数不变量。反之，任何代数不变量也给出了几何上的一个不变量。研究现状几何上还有很

8、多来自代数的不变量没有得到研究。不变量理论=向量丛理论Mumford(1960’):研究了部分代数不变量发现了几何现象“向量丛的稳定性”