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1、浅谈“三点共线”问题的教学李秀中“三点共线”问题虽不是《解析 几何》第一章的重点，但属于本章的应用类问题。教材中多次出现这类习题，其本意是运用所学的新知识，解决初中《平面几何》就熟悉的点在直线上的问题，也以此理解《解析几何》的“数”“形”相结合的方法。我在第一章复习时，用专题课的形式，专谈“三点共线”问题，效果不错，。借此，谈谈体会，与同行切磋。对“三点共线”问题，一般先分析证法思路的几何性质（或条件），然后再用代数方法验证此条件成立。为了培养学生综合、分析，解决问题的能力，因此，对“三点共线”问题，从多方位着手，多角度去分析，用多种方法证明。本
2、人归纳为六种常用方法。下面选同一例题，说明之。例题：已知：三点A(1,-1),B(3,3)，C(4,5)xO.B(3,3).C(4,5).A(1.-1)y求证：A、B、C三点在一条直线上。如左图：(以下各种证法全用此图)证法（一）：线段距离法证明思路：由平面几何性质知，若A、B、C共线，则
3、AB
4、+
5、BC
6、=
7、AC
8、，再由解析几何的两点间距离公式验证上式成立。证明：由两点间距离公式得：
9、AB
10、=
11、BC
12、=
13、AC
14、=即：
15、AB
16、+
17、BC
18、=
19、AC
20、所以A、B、C三点共线。证法（二）：点线距离法：证明思路：由平面几何性质知，若A,B,C三点共线，则点
21、B到直线AC的距离为零。再由解析几何的点线间距离公式验证其成立。证 明：由两点式得直线AC方程:2x-y–3=0且点B(3,3)设：B点到直线AC的距离为d精品教育文档故B在AC直线上，所以A、B、C三点共线。小 结：上两种证法利用平面几何性质“形”，解析几何“数”，即“数”与“形”结合。证法（三）：斜率比较法：证明思路：由解析几何中已知直线上两点求斜率的方法，求得直线AB、AC的斜率、,再验证。 证 明：已知直线上两点求斜率得,即且直线AB、AC有公共点，故直线AB、AC重合，所以A、B、C三点共线。小 结：解析几何两直线位置关系判断
22、的实际应用，即为两直线重合的判定。证法（四）：坐标代入法：证明思路：验证点B的坐标满足直线AC的方程，故B点在直线AC上，证 明：由两点式得直线AC的方程2x–y–3=0把点B(3,3)的坐标代入方程，即2×3–3–3=0故B点在直线AC上，所以A、B、C三点共线。小 结：利用点的坐标与方程解的关系，判断点在直线上。证法（五）：方程比较法：证明思路：若直线AB、AC的方程对应的系数相等，则直线AB、AC重合。证 明：由两点式得直线方程：AB：2x–y–3=0 (1)AC：2x–y–3=0 (2)即：方程(1)、(2)的系数相同，直线AB、A
23、C重合，所以A、B、C三点共线。小 结：利用两直线位置关系的方程系数比较法，判断两直线重合。证法（六）：定比分点法：证明思路：利用“定比分点公式”求出线段AC的分点坐标P,验证分点P与点B重合，即A、B、C三点共线。证 明：设线段AC上的分点P(3,y)，（也可设P为(x,3)） 且P点分线段AC的比那么：即：点P(3,3)与点B(3,3)重合，则点B在直线AC上，精品教育文档所以A、B、C三点共线。小 结：此六种方法是解析几何常用的证明方法，如证明点满足某个条件、点直线上、点为线段的中点或直线过某个定点等。实例：设抛物线y2=2p
24、x(p>0)的焦点为F，经过点F直线交抛物线与A、B两点，点C在抛物线的准线上，且B∥x轴，证明直线AC经过原点O。(2001年高考第19题)分析：只需证明A、O、C三点共线，yxF(,0)x=-A(x1,y1)B(x2,y2)C(-,,y2)O利用“三点共线”的证明方法(三)，即斜率比较法，证kOC=kOA。证明：设坐标如图：由y2=2px①y=kAB(x–)②(②为直线AF的方程)由①②，消x得y2–y–p2=0即：y1y2=–p2且kOC===–kOA=====–即kOC=kOA,所以直线AC经过原点O。“三点共线”问题作为专题课讲授时，采
25、用讨论式。前五种证法是较常用的方法，对学生讲明方法，稍微点拨，学生马上领会，并很快掌握。而第六种“定比分点”的方法证明，是《解析几何》第一章证明题的新方法，也是此节课的难点，需详讲，学生才可领悟这种新的数学方法，学会应用。“三点共线”问题在《解析几何》第一章得中较直观的体现“数”“形”结合的思想，也是学生易理解、掌握的“应用类问题”的实例，符合学生认知心理，适当地把握讲授时机和方法，可使学生在数学的学习中尝到“成功”的喜悦，作为教师在教学也倍感欣慰，事半功倍。精品教育文档
