求向量组的秩与极大无关组(修改整理)

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时间:2018-11-27

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1、求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组,求秩与最大无关组1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法:为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩,且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵A;②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩.【例1】求下列向量组a1=(1,2,3,4),a2=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6)的秩.解1:以a1,a2,a3为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2,所以向量组的秩为2.解2:以a1,a2,a3为

2、行向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为2.2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组A:a1,a2,…,an①设a1¹0,则a1线性相关,保留a1②加入a2,若a2与a1线性相关,去掉a2;若a2与a1线性无关,保留a1,a2;③依次进行下去,最后求出的向量组就是所求的最大无关组6/6【例2】求向量组:的最大无关组解:因为a1非零,故保留a1取a2,因为a1与a2线性无关,故保留a1,a2取a3,易得a3=2a1+a2,故a1,a2,a3线性相关。所以最大无关组为a1,a2方法

3、2初等变换法【定理】矩阵A经初等行变换化为B,则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组:a1=(1,2,3)T,a2=(-1,2,0)T,a3=(1,6,6)T由上可得,求向量组的最大线性无关组的方法:(1)列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组,即为最大无关组.【例3】求向量组:a1=(2,1,3,-1)T,a2=(3,-1,2,0)T,a3=(1,3,4,-2)T,a4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最大无关

4、组,并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解以a1,a2,a3,a4为列构造矩阵A,并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩:知r(A)=2,故向量组的最大无关组含2个向量6/6而两个非零行的非零首元分别在第1,2列,故a1,a2为向量组的一个最大无关组事实上,知r(a1,a2)=2,故a1,a2线性无关为把a3,a4用a1,a2线性表示,把A变成行最简形矩阵记矩阵B=(b1,b2,b3,b4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性,因此向量a1,a2,a3,a4与向量b1,b2,b3,b4之间有相同的线性关系。因此a3=2a1-a2,a4=-a1+

5、2a2【例4】求下列向量组的一个最大无关组,其中:解:以给定向量为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B再利用初等行变换,将B再化成行最简形矩阵C.6/6初等矩阵A,B,C初等变换行作为求秩无关B中见线性无关C做陪用最大线性无关组表示其它向量的方法为:①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C;④根据行最简形矩阵列向量的分量,用最大无关组表示其它向量.【例5】求向量组,,,的秩和一个最大无关组.  解:  (1)当且时,,故向量组的秩为3,且是一个最大无关组;  

6、(2)当时,,故向量组的秩为3,且是一个最大无关组;6/6  (3)当时,若,则,此时向量组的秩为2,且是一个最大无关组.若,则 ,此时向量组的秩为3,且是一个最大无关组.(2)行向量列变换同理,也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵(即列向量的转置矩阵),通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。【例6】求向量组,,,,的一个最大无关组.解:以给定向量为行向量作成矩阵A,用初等列变换将A化为行最简形:(行向量列变换)由于的第1,2,4个行向量构成的向量组线性无关,故是向量组的一个最大无关组.方法3线性相关法(了解)若非零向量组A:a1,a2,…,an线性无关,则

7、A的最大无关组就是a1,a2,…,an若非零向量组A线性相关,则A中必有最大无关组二、对于抽象的向量组,求秩与最大无关组常利用一些有关的结论,如:1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示,则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩2、等价向量组有相同的秩3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组【例7】设向量组的秩为.又设,,6/6求向量组的秩.解法1:由于,且,所以,故向量组与等价,从而的秩为.解法2:将看做列向量,则有,其中可求得0,即可逆,从而可由线性表示,由已知可由线性表示,故这两个向量组等价,即它们有相同的秩.【例7】设向量组(Ⅰ):和向量组(

8、Ⅱ):的秩分别为和,而向

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