求向量组的秩与极大无关组.docx

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精品文档求向量组的秩与极大无关组对于具体给出的向量组，求秩与极大无关组的常用方法如下.方法i将向量组排成矩阵4心4=1V«■，二（乌乌，…4）（列向量组时）或（行向量组时）（*）并求4的秩r,则r即是该向量组的秩；再在原矩阵4中找非零的r阶子式2,则包含4的r个列（或行）向量即是A的列（或行）向量组的一个极大无关组.方法2将列（或行）向量组q，4，'“，4排成矩阵4如（*）式，并用初等行（或列）变换化力为行（或列）阶梯形矩阵G（或Gb,则G（或G。中非零行（或列）的个数即等于向量组的秩，且4「是该向量组的一个极大无关组，其中iiM…，*是G（或Gb中各非零行（或列）的第1个非零元素所在的列（或行）.方法3当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为4,再取一个与4的对应分量不成比例的向量作为4：,又取一个不能由4和4线性表出的向量作为%,继续进行下去便可求得向量组的极大无关组.对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论，如“若向量组（I）可由向量组（阴线性表示，则（I）的秩不超过（止）的秩”，“等价向量组有相同的秩”，“秩为r组向量组中任意1个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等.例1求向量组44T2,4）,马二（031,2）&=（3,0,7,14）4=Q-120）玲二（2,116）的秩与一个极大无关组..。1欢迎下载 精品文档4、fl—124)2031214T000-A00000010000，fank4=3,所以向量组的秩为3；又4中位于1,2,4行及1,2,4列的3阶精品文档精品文档1-142二032=-12mO1一10（可知q乌⑼科均可作故q凸q是向量组的一个极大无关组为极大无关组）.000：p003121J"010312_s一2）31000-410-4312,310000=gt00，精品文档精品文档由于G’的第1,2,4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个极大无关组.例2求向量组关组.代—1,3]%二4vJ的秩和一个极大无Q613、/=(%%%%)=12b14解“114,_O2欢迎下载 精品文档[1012：一一）011-c4-2c；00-讥〜）1-玩4—2%（I）当心0且CM1时，rank4二3,故向量组的秩为3,且华与马是一个极大无关组；（2）当6-0时，rank>4-3,故向量组的秩为3,且q丹q是一一个极大无关组；（3）当”1时，若,则rank1二2,此时向量组的秩为2,且叫4是一个极大无关组.若.，，则rank^=3,此时向量组的秩为3,且4乌4是一个极大无关组.例3设向量组的秩为r.又设月=%+国+…+%旦=4+%+…+q…，以=4+乌+…+.求向量组乩A的秩.解法i由于6+旦+'“+4=他一1）（乌+%+'“+%），且乌+4=q+%+…+4@=12…⑼所以6=8+乌+…+4）-片23+4+…+4）一%=12"）故向量组与乩等价，从而4，自「旧的秩为『.法2将&看做列向量,则有（儿即,,闻二佃遇〃A）P5欢迎下载 精品文档S1■■■1、1o1p二.、■•・9■■其中U1…oh可求得加tp=（—l）M（汨_1）即?可逆，从而q局“科可由乩4,，a线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩.例4设向量组（I）：q4,,1巡和向量组（H）：乩4…，月的秩分别为勺和而向量组（田）：%马广、4国自产1，月的秩为r.证明:r,勺+为.证若4和勺中至少有一个为零，显然有「二『1+'结论成立.若口和^都不为零,不妨设向量组（I）的极大无关组为二4,向量组（正）的极大无关组为乩自，'''，A,由于向量组可以由它的极大无关组线性表示，所以向量组（m）可以由44…，A，4,…展线性表示，故"（q'%…,%闻乐…闻的秩。1+弓5欢迎下载 精品文档欢迎您的下载,资料仅供套考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求5欢迎下载