四年级奥数第一讲 数的整除问题

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1、第一讲数的整除问题一、基本概念和知识:1、整除:定义:一般地,如果a,b,c为整数,且a÷b=c,我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。用符号“b

2、a”表示。2、因数和倍数:如果a能被b整除,即a÷b=c由a÷b=c得:a=b×c,我们就说b(c)是a的因数(或约数),a是b(c)的倍数.提醒:一个数的因数个数是有限的,最小因数是1,最大因数是它本身。练习:写出下面每个数的所有的因数:1的因数:__________________;7的因数:__________________;2的因数:__________________;8的因数:__________________;3的因

3、数:__________________;9的因数:__________________;4的因数:__________________;10的因数:__________________;5的因数:__________________;11的因数:__________________;6的因数:__________________;12的因数:__________________;公因数(公约数):几个自然数公有的因数,叫做这几个自然数的公因数(公约数)。如:3和4的公因数是:___________,6和8的公因数是:___________,3、质数与合数:在上面的题目中,我们发现,1

4、只有1个因数,有些数只有2个因数,还有些数有很多因数。根据因数的多少,我们可以把大于1的自然数分为两类:质数与合数。(1)质数:一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(素数)。(2)合数:一个数,除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。(3)0和1既不是质数,也不是合数。、请写出20以内的所有质数:_____________________________________________________注意:最小的质数是____,质数里面除了______是偶数外,其它都是______数。4、互质数:公因数只有1的两个自然数,叫做互质数。这里所说的“两个数”是指除0外

5、的所有自然数。“公因数只有1”,不能误说成“没有公因数。”例如,2与7、13与19、3与10、5与26等等74、质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫做这个合数的质因数练习:13×4=52,13和4都是52的因数吗?13和4都是52的质因数吗?分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数练习---把下列各数分解质因数(1)21(2)42(3)36当数字比较大的时候,我们用短除法可以快速的分解质因数例题---用短除法把下列各数分解质因数(1)180(2)630练习1、把下列各数分解质因数(1)960(2)25202、(第九届

6、小学希望杯全国数学邀请赛)在小于30的质数中,加3以后是4的倍数的是3、(2012年第十届希望杯试题)只能被1和他本身整除的自然数叫做质数,如:2,3,5,7等,那么,比40大并且比50小的质数是,小于100的最大的质数是。4、(第七届希望杯试题)若用G(a)表示自然数a的约数的个数,如:自然数6的约数有1、2、3、6,共4个,记作G(6)=4,则G(36)+G(42)=.5、(2016年第十四届希望杯)已知a,b,c都是质数,若a×b+b×c=119,则a+b+c=        . 7二、数的整除性:1、能被2整除的数的特征:个位数一定是0,2,4,6或8。偶数:能被2整除的整数称

7、为偶数,如:0,2,4,6,8,10,12,14,…奇数:不能被2整除的整数称为奇数。如:1,3,5,7,9,11,13,15,…偶数和奇数有如下运算性质:  偶数±偶数=偶数,  奇数±奇数=偶数,  偶数±奇数=奇数,  偶数×偶数=偶数,  偶数×奇数=偶数,  奇数×奇数=奇数。提醒:(1)如果两个整数的和(或者差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;(2)如果两个整数的和(或者差)是奇数数,那么这两个整数的奇偶性相反;2、能被5整除的数的特征是:个位是0或53、能被3整除的数的特征是:各个数位数字之和能被3整除如:27,215等等4、能被9整除的数的特征是:各个数位数字之和能

8、被9整除如:81,216等等5、能被4或25整除的数的特征是:末两位数能被4或25整除如:264能被4整除,150能被25整除6、能被8或125整除的数的特征是:末三位数能被8或125整除。如:2168能被8整除,不能被125整除7、能被7(11或13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差,(大减小)能被7(11或13)整除例如:判断1540是否是7的倍数?解:把1540分成1和540两个数,因为540-1=539,

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