一级注册结构工程师基础考试-高数课件1

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1、无穷级数一、数项级数二、幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.数项级数及收敛定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。等比级数(又称几何级数)(q称为公比).级数收敛,级数发散.其和为P-级数2.无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若

2、二级数都发散,不一定发散.(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质5：设收敛级数则必有可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.*例1.判断级数的敛散性:解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发

3、散.是两个正项级数,(常数k>0),3.正项级数审敛法(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0

4、收敛。5.绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数绝对收敛；则称原级数条件收敛.绝对收敛的级数一定收敛.由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:交错级数例5.证明下列级数绝对收敛:证:而收敛,收敛因此绝对收敛.判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝

5、对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛发散发散收敛收敛发散1.Abel定理若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式二、求幂级数收敛域*例6.已知幂级数在处收敛，则该级数在处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理，该幂级数在处绝对收敛，故在绝对收敛。例7.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为若的系数满足1)当≠0时,2)当＝0时,3)

6、当＝∞时,则的收敛半径为2.求收敛半径对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例8..求幂级数例9.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1例10.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即三、求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围

7、的幂级数展开式展开成解：例10.求函数微分方程一、微分方程的基本概念二、解微分方程三、微分方程应用含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程一、微分方程的基本概念的阶.例如：一阶微分方程二阶微分方程—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.初始条件(或边值条件):的阶数相同.特解微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.例1.验证函数是微分方程的解.解:是方程的解.二、解微分方程1.一阶微分方程可分离变

8、量，一阶线性2.高阶微分方程可降阶微分方程，二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。分离变量方程的解法:(2)两边积分①②(3)得到通解称②为方程①的隐式通解,或通积分.(1)分离变量*例2.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)因此可能增、减解.一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐