光波的数学表述及叠加原2

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1、第二章光波的数学表述及叠加原理§2.1光波及其数学表述，单色平面波一、简谐波(simpleharmonicwaves)的表达式λ为波动的波长，即具有同一振动相位的空间两相邻点之间的距离。即2π长度内所含的波长数目。ν为频率，即单位时间内振动的次数。角频率波动的传播速度角波数yt=0zλAy0=Acosαyz=0tTAy0=Acosα初相位为α、周期为T、波长为λ的简谐波对于机械波，y表示位移；对于电磁波，y表示电场强度E或磁感应强度B；它们都随时间和空间连续地作周期性变化，波的强度正比于A2。真空中的Maxwell方程组：对于E，微分方程为二、光波

2、的数学表述单色平面波设波长为λ，传播方向为z，则上式的解为：定义一矢量k，其大小等于k，方向为波的传播方向，则可推广到任意方向传播的波。是空间任一点的位置矢量“单色”指波只有单一频率ω；“平面”指在k·r=常量的空间各点所组成的平面上的相位都相等，即等相面（波面）为一平面2.相位差与距离之间的关系为1.单色平面波在空间某点r处，随着时间的推移，振动的相位将发生变化；在某一时刻t，在传播方向上的不同点之间也存在着相位的差异。这是由于两点的距离所引起的相位差。E0-E0E0E0-E0E0E0E0-E0-E0波峰波谷kk单色平面波3.用指数复函数来表示简

3、谐波：复振幅(complexamplitude)：相位因子：用复函数表示波动，在运算中带来方便，只有复函数中E的实数部分才代表真正的物理量。代入将麦克斯韦方程组：可得：代入可得：k方向上的单位矢量E、B、k这三矢量相互垂直，构成右手螺旋定则，E=cB。E和B都与传播方向k垂直，故光波是横波。zEyBx这是一个沿z轴传播的单色平面波，电矢量E在平面xoz内振荡，而磁矢量B则在平面yoz内振荡。光矢量E不是对称分布而是有一定取向，这种具有偏向性的振动状态为偏振。偏振面为oxz平面的偏振光沿z轴传播的单色平面波的简谐波动形式：zEyBx§2.2球面波及高

4、斯波单色平面波并不是Maxwell方程组唯一的解，一些在光学中经常遇到的波如：球面波和高斯波也是它的解。一、球面波与高斯波的产生及特点球面波1.产生：从点光源发出的传播到不太远距离处的光波2.特点：等相位面和等振幅面都为球面高斯波1.产生：从激光器发出的光波（激光）2.特点：等相位面上的光强（振幅）呈高斯函数分布可得一、球面波球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标系的原点，则k与r的方向永远相同，E的大小只与半径r及时间t有关，所以可写成E=E（r，t），把它代入该方程的解为式中A是一个常数讨论：1、常数的面是等振幅面，对于单色光，它同时也是等相面，

5、都是球面2、球面波的振幅与传播距离r成反比，即光强与距离平方r2成反比。zP0P(x,y)R[R2+(x2+y2)]1/2(x2+y2)1/2oP0（0，0，-R）RP(x,y)yxzo直角坐标系中的球面波在oxy平面上的某点P（x，y）受到的该球面波的扰动所具有的复振幅为由于所以zP0P(x,y)R[R2+(x2+y2)]1/2(x2+y2)1/2oU(0)为波源发出的球面波传到坐标原点处的复振幅讨论：1.在一定的近似条件下，球面波可以在直角坐标系中描述2.xoy平面并不是球面波的波面，不是等相位面和等振幅面3.但当R足够大的情况下，xoy平面可

6、近似认为是等振幅面斜入射波的表述若令平面波面法线方向的单位矢量为1、斜入射的平面波的表达式为U(0,0)为入射的平面波到达坐标原点时的复振幅，其指数项是由于斜入射而引入的相位值。2、斜入射的球面波的表达式为式中包含了斜入射及球面波这两种形式所带来的结果。其中高斯光束包括了平面波因子球面波因子和二维高斯函数激光光波的波面（等相位面）是球面，但其球面半径R随距离z而变；当z=0或时，R都为无穷大，即为平面波。三、高斯波激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强在中心（x=y=0）处最大，为（W0/W）。随着x、y增大，场强减小。当x2+y2=W2时，场

7、强降低到中心处的1/e，W为光束的宽度。激光束的宽度在z=0时最小，W0为光束的腰。zW0x，yx，yz1z2z=0处的光场振幅分布z=z1处的波面z=z2处的波面光场振幅降为e-1处的轨迹θ/2e-1由于在腰处的光束最小，故离腰较远处的光波可看作是以腰为球心的球面波。高斯光束的发散角§2.3光在均匀介质中的传播一、光在介质中的传播1、在介质中麦克斯韦方程组jc为传导电流密度矢量，ρ为自由电荷密度介质中的电磁性质由电位移矢量D和磁场强度矢量H来描述。2、物态方程εr为该介质的相对介电常数，μr为相对磁导率，jc与介质的固有物性相关。对于透明介质材料

8、，jc=0并可取ρ=0，对于非铁磁性介质，μr≈1。3、波动方程(waveequation)透明介质真空4、在介质中的参量