高中数学-公式-柯西不等式

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1、第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一）2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.证法一：（比较法）=….=证法二：（综合法）.（要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量，，则，.∵，且，则.∴…..证法四：（函数法）设，则≥0恒成立.∴≤0，即…..③二维形式的柯西不等式的一些变式：或或.④提出定理2：设是两个向量，则.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）

2、2.教学三角不等式：①出示定理3：设，则.分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学过程：；3.如何利用二维柯西不等式求函数的最大值?要点：利用变式.二、讲授新课：1.教学最大（小）值：①出示例1：求函数的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：→推广：②练习：已知，求的最小值.解答要点：（凑配法）.2.教学不等式的证明：①出示例2：若，，求证：.分析：如何变形后

3、利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：…讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知、，求证：.3.练习：①已知，且，则的最小值.要点：….→其它证法②若，且，求的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若，且，求的最大值.第三课时3.2一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：；二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设，则讨论：什么时候取等号？（当且仅当时取等

4、号，假设）联想：设，，，则有，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令，则.又，从而结合二次函数的图像可知，≤0即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：.（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知，求的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：②练习：若，且，求的最小值.③出示例2：若>>，求证：.要点：②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有···+(同序和)+···+(乱序和)+···+(反序和)

5、当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式）2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设是n个互不相同的正整数，求证：.分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设是的一个排列，且，则.又，由排序不等式，得…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知为正数，求证：.解答要点：由对称性，假设，则，于是，，两式相加即得.