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1、第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一）2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.证法一：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=⋯.=(adbc)20证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2(acbd)2(adbc)2(acbd)2.（要点：展开→配方）ur(a,b)，rura2b2rc2d2.证法三：（向量法）设向量mn(c,d)，则
2、m
3、，
4、n
5、urrurrurrurrurrurr∴
6、⋯..∵m?nacbd，且mgn
7、m
8、g
9、n
10、gcosm,n，则
11、mgn
12、
13、m
14、g
15、n
16、.证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则f(x)(axc)2(bxd)2≥0恒成立.∴[2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即⋯..③二维形式的柯西不等式的一些变式：a2b2gc2d2
17、acbd
18、或a2b2gc2d2
19、ac
20、
21、bd
22、或a2b2gc2d2acbd.2：设urururur
23、
24、urur④提出定理,是两个向量，则
25、g
26、
27、
28、.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）ururur,→讨论：上面时候等号成立？（是
29、零向量，或者共线）⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3：设x,y,x,yR，则222222.1122x1y1x2y2(x1x2)(y1y2)分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学过程：(a2b2
30、)(c2d2)(acbd)2；x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)23.如何利用二维柯西不等式求函数yx12x的最大值?要点：利用变式
31、acbd
32、a2b2gc2d2.二、讲授新课：1.教学最大（小）值：①出示例1：求函数y3x1102x的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：y3x1102x→推广：yabxcdefx,(a,b,c,d,e,fR)②练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值.解答要点：（凑配法）x2y21(x2y2)(3222)1(3x2y)21.1313132.教学不等式的证明：①出示例2：若x
33、,yR，xy2，求证：112.xy分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：111(xy)(11)1[(x)2(y)2][(1)2(1)2]⋯xy2xy2xy讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、bR，求证：(a114.b)()ab3.练习：①已知x,y,a,bR，且ab1，则xy的最小值.xy要点：xyaby)⋯.→其它证法()(xxy②若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若x,y,zR，且xyz1，求xyz的最大值.第三课时3.2一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的
34、柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(adbecf)2二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：urururur①提问：由平面向量的柯西不等式
35、g
36、
37、
38、
39、
40、，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设a1,a2,L,an,b1,b2,L,bnR，则(a12a22Lan2)(b12b22Lbn2)(a1b1a2b2anbn)2讨论：什么时候取等号？（当且仅当a1a2Lan时取等号，假设bi0）b
41、1b2bn联想：设Ba1b1a2b2anbn，Aa12a22Lan2，Cb12b22Lbn2，则有B2AC0，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令（fx）（a12a22an2)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b22bn2)，则f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2+（anxbn)20.又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，b22Lbn2)≤1122nn21222Lan2)g(b1202(ababab)4(aa即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式
42、：22212a1a2Lann(a1a2an).（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知3x2yz1，求x2y2z2的最
