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1、第五章固体电子论基础特鲁特认为:金属中的价电子电子气体同离子碰撞达到热平衡电子移动电流电导,热导.洛伦兹认为:电子气体服从麦克斯韦玻尔兹曼统计.经典电子气的理论计算结果:N个价电子,3N个自由度,总能量,只计算动能,.经典物理困难:试验值只有理论值的1%.索末菲认为:电子不服从经典统计分布而遵守量子统计分布Fermi-Dirac统计,从而计算出电子气体的,获得了成功.布洛赫和布里渊阐明了在周期场中运动的电子的基本特征,为能带理论的建立奠定了基础.近自由电子模型:自由电子+微扰能带,根据禁带宽度的大小(金属,绝
2、缘体,半导体)5.1电子气的能量状态金属中的价电子好比理想气体,无相互作用.取平均势能为能量零点,.电子逸出体外相当于在一定深度的势阱中运动的粒子所具有的能量.三维无限深势阱中运动的粒子:0L取箱内势能,其薛定谔状态方程为:两边同除分离变量:方程的解:边界条件:在势箱中运动的电子.只剩下正弦项,余弦项为零.A为归一化常数,电子能量:推广到无限个线度都是L的势阱各个势阱相应位置波函数相等:电子波函数:波函数归一化:电子能量:电子动量:电子速度:驻波:电子的平均动量,平均速度为零,波矢在k空间,由一组量子数表示.
3、为坐标的空间称为波矢空间也叫k空间.每个点代表一个状态.轴相邻的两个代表点间的间距为,沿轴相邻点的间隔也是.因而k空间每个状态的代表点占有体积:K空间单位体积含有的状态点数目:平面波状态波矢由一组量子数确定,K空间:为坐标轴的空间.点:每个许可的状态可用一个点来代表.相邻两个代表点间距:波矢空间每个状态代表点占有的体积:K空间单位体积中含有状态数目:从中含有的状态数:每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子,所以体积元中可容纳的电子数:自由电子能量:E能级密度与能量关系，能量越大， 也越大．５.２电子气的费米能量
4、Fermienergyofelectrongas电子气体中的粒子：电子，e满足：泡利不相容原理（Pauli’sexclusionprinciple）服从费米——狄拉克统计（Fermi-Diracstatistics）电子处在能量为E状态的几率：是费米能量，或者化学势．意义：体积不变的条件下，系统增加一个电子所需要的自由能．是温度和电子数的函数．当意义：表示在费米能级,被电子填充的几率和不被电子填充的几率是相等的．费米分布函数f(E)在不同温度时的图像.(1)T=0k绝对温度,(2)(3)温度上升,函数f(E)
5、发生大变化的能量范围变宽,但在任何情况,此能量范围约为求费米(Fermi)能级根据能级密度:和热平衡时,电子处于能量为E的状态的几率:以及能量E~E+dE之间的电子数(1)当:令代表系统电子浓度,求数值估计电子气系统每个电子的平均动能(2)每个电子的平均动能,的解释:即使在绝对零度,电子仍有相当大的平均能量。根据热力学温度是平均动能的标志,T=0时,应该有,但是根据泡利不相容原理,每个状态只能容纳两个自旋方向相反的电子,因此在绝对零度不可能所有的电子都填在最低能态.当此时能量E大于的能级可能有电子,能量小于的
6、能级可能是空的,系统总电子数N.第一项:所以,令此为奇函数此为偶函数求的关系:在绝对温度时系统的总电子数:当温度升高时,比小,金属的费米能量:几个~几十个eV费米温度:一般温度下,自由电子能级:当时,等能面的半径为:物理意义(1)在绝对零度T=0k时,费米面以内的状态都被电子所占据,球外没有电子.(2)时,费米球面半径,在范围内能上的电子被激发到之上约的范围的能级.5.3金属中电子气的热容Thethermalcapacityofelectrongasinmetal洛伦兹自由电子论,N个自由电子,3N个自由度.
7、服从经典的统计规律:试验结果，电子比热只有这个数值的百分之一.索末菲认为:电子不遵守麦克斯韦-玻尔兹曼分布,而是遵守费米-狄拉克分布.自由电子构成电子气,有N个自由电子.每个电子平均能量::绝对零度每个电子平均能量.每个的电子对热容量的贡献:这是费米狄拉克统计方法计算的电子比热结果.只有费米面附近范围的电子受热激发才跃迁到较高的能级.每个电子的能量之间的电子才能被激发.根据费米统计f(E)曲线可知,电子的能量范围约为附近的.受激发的电子数(下页)每个电子具有热能每个电子的平均能量是:每个电子对热容的贡献:讨论
8、:(一)常温:说明对增加系统热能有贡献的电子仅占总电子数的一小部分.所以通常温度下,金属的比热服从杜隆-珀替定律.为了与试验结果相比较,计算金属没摩尔中自由电子对热容量的贡献:每个原子有Z个自由电子(价电子),常温晶格对热容量贡献为:电子对比热贡献很小.当电子气与晶格振动对热容量的贡献之比:只有当温度很低时,才考虑电子对热容量的贡献.二.温度甚低:金属的摩尔热容是两部分之和:截距r,斜率为b.5.4
