复数在电工中的简单应

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1、第10讲---复数在电工中的简单应用1.正弦量的瞬时表达式2.正弦量的相量表达式3.RLC串联电路中的复阻抗4.复功率1学习目标1．掌握正弦量的复数表示形式，并进行计算；2．会运用复功率计算有功功率、无功功率和视在功率的计算；2重点难点1．正弦量的复数表示形式；2．复功率的计算。复功率的计算31.正弦量的瞬时表达式在线性正弦交流电路中，正弦交流电是指随时间按正弦规律变化的电流和电压,它的瞬时表达式就是使用三角函数的形式表示正弦交流电变化的规律。例如正弦交流电压u(t)=Umsin(ωt+φ)在直角坐标系上是一条随时间变

2、化的正弦曲线,其中Um为幅值，ω为角频率，φ为初相角，三者构成了正弦量的三要素。42.正弦量的相量表达式由于利用瞬时表达式表示交流电量比较烦琐，尤其在分析计算交流电路时，一般要解微积分方程，十分不便。为使表示方法和求解电路简便，引入相量表示方法。相量表示是从复数表示和计算中引申出来的。我们现在就试图用复数的形式来表示正弦量。5一个正弦量由三要素来确定，分别是频率、幅值和初相。因为在同一个正弦交流电路中，电动势、电压和电流均为同频率的正弦量，即频率是已知或特定的，可以不必考虑。只需确定正弦量的幅值(或有效值)和初相位就可

3、表示正弦量。而一个复数的四种表达方式均要用两个量来描述。不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用幅角代表正弦量的初相，于是得到一个表示正弦量的复数，这就是正弦量的相量表示法。6相量表示方法为：用复数的模值对应地表示正弦量的振幅(或有效值)；用复数的幅角对应地表示正弦量的初相，任何一个正弦量都可以对应这样的一个复数，而我们就把这个与正弦量相对应的复数称为正弦量的相量，简称相量。换句话说正弦量的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具有一一对应关系的复数。为了区别与一般复数的不同，相量头顶要带上标记“·”，如。一个正弦量的相

4、量，就是在给定角频率ω条件下，用它的有效值（也可用最大值）和初相角这两个要素来表示的量。在概念上关于相量应明确如下几点：7(1)正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为有效值相量；用最大值和初相角表示时，称为最大值相量或振幅相量。(2)所谓相量法是用相量这一特殊复数来表示正弦量，从而将正弦量的运算转化为复数运算的方法。正弦量的相量不仅仅是时间t的函数，还是一个复数。(3)将正弦量用相量表示实质上是一种数学变换。一个相量可以充分表达正弦量的三要素，只是由于电路中各量的频率相同而省掉了频率而已。相量仅为正弦量的一种表示方

5、法，相量并不等于正弦量。(4)引入相量法的目的是为了简化正弦稳态电路的分析计算，相量只能用来进行同频率正弦电源电路的分析计算。注意，今后若不特别说明，相量均指有效值相量。8若正弦电压为正弦电流为有效值相量是以正弦量的有效值I或U为模、初相角φ为辐角，记为最大值相量是以正弦量的最大值Im或Um为模、初相角φ为辐角，记为其中,U表示电压有效值，Um表示电压最大值或振幅,I表示电压有效值，Im表示电压最大值或振幅9例1:已知对称三相正弦电压可表示为：试证明其相量之和恒等于零。（教材P85第8题）证明：因为电压的相量分别为讲解

6、例题10例2:请写出正弦量u=311sin(314t30°)V，i=4.24sin(314t45°)A相量形式。解：(1)正弦电压u的有效值为U=0.7071311=220V初相角为φ=30°所以其相量为(2)正弦电流i的有效值为=0.70714.24=3A初相角为φ=-45°所以其相量为讲解例题11讲解例题例3：如图所示为电路中的一个节点，已知，试求i3。解：电流i1、i2对应的相量形式分别为所以而即12复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的电阻和电抗，例如单一电阻元件电

7、路的复阻抗为R，是一个只有实部没有虚部的复数；单一电感元件电路的复阻抗是jXL，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容元件电路的复阻抗是－jXC，是没有实部，只有负值虚部的复数。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗；复阻抗的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。。3.RLC串联电路中的复阻抗13电路中的容抗为电路中的感抗为RLC串联电路中的复阻抗为其中ω为角频率，ｆ为频率，14讲解例题例4：如图所示，已知R＝100Ω，L＝0.5H，f=50Hz，C=30μF，计算总复阻抗Z和总阻抗｜Z

8、,并把结果化为复数的三角形

9、式。(教材P76例14）～解：所以总阻抗为由得，代入得15讲解例题例5：一个100μF的电容器接在电压为10V的正弦电源上，当电源频率为50Hz时，试写出电容元件中电流的瞬时值表达式。解：当f=50Hz时，容抗为由题意得，电源电压的有效值表示为故所以即16讲解例题例6：如图所示电阻、电感串联电路中，已知正弦电流试求uR、uL、u。