《定积分概念》ppt课件

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1、第五章积分§5.1定积分的概念1º定积分问题的提出问题一:曲边梯形面积的计算设y=f(x)0,x[a,b]计算:由曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b所界的曲边梯形abcd的面积Aabxyoabxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似取代曲边梯形面积可以看到,小矩形越多,小矩形的总面积越接近于曲边梯形面积A(1)分割:使[a,b]被划分为n个子区间[xi-1,xi],记[xi-1,xi]上小曲边梯形的面积为∆Ai,y=f(x)∆Ai则(2)近似:若区间[a,b]被分割的很细,即每个子区间[xi-1,xi]的长度很小,则f(x)在[

2、xi-1,xi]上近似于常数,小曲边梯形近似于矩形.任取若记∆xi=xi-xi-1,则(3)精确化:可以看出,将区间分割得越小,则式(1)的近似越精确(1)则有(2)记(分割的最大直径)问题二:变速直线运动的路程设运动物体以速度v=v(t)作直线运动,求在时刻t=a到t=b这段时间内,物体行经的路程S.(1)分割:使记时间段[ti-1,ti]内,物体行经的路程∆Si,则(2)近似:若子区间很小,则速度v(t)在上近似不变(即近似于常数)任取(3)(3)精确化:可以看出,越小,则式(3)的近似程度越高记则有(4)说明:(1)问题一,问题二是不同背景的问题,但

3、面临同一数学问题,即和式极限的计算(2)在问题的处理过程中,都使用了“以不变处理变”的思想20定积分的定义定义设f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内任意将[a,b]分成n个小区间:在每个小区间上任取一点,作和式如果则称f(x)在[a,b]可积,A称为f(x)在[a,b]上的定积分,记为,a称为积分下限;b称为积分上限;f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;x称为积分变量说明:(1)定积分的几何意义:abxyo如果y=f(x)0,x[a,b]曲边梯形的面积:(2)极限值A与区间[a,b]的划分方式无关,与的选取方式无关即(3)在上述定

4、义中认为ab的情形:规定:对于b=a的情形:规定:(面积为零)定理(定积分存在的必要条件)如果f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界说明:[a,b]上的无界函数是不可积的定理(定积分存在的充分条件)如果f(x)在[a,b]上连续或分段连续,则f(x)在[a,b]上可积说明:连续函数必是可积函数,不连续的函数也可能是可积函数例利用定义计算定积分解由在[0,a]上连续,将[0,a]区间n等分,分点:取则有[0,a]上可积.可知f(x)在说明:此例说明用定义计算定积分是非常困难的定积分可被用来计算“和式”的极限若f(x)在[a,b

5、]上连续,则根据定积分的定义有即当所求极限的“和式”为积分和时,可利用(1)转化为定积分的计算当然,(1)也只能解决是“积分和”或“可化为积分和”的和式极限计算问题(1)例计算解例计算解由于据夹逼定理知例计算解记则由于所以解例把区间[a,b](a>0)分成n等分,分点为xi,计算设所以