从傅里叶变换到小波变换

《从傅里叶变换到小波变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第8章从傅里叶变换到小波变换8.1引言8.2时域分析与窗口傅里叶变换8.3小波变换8.4多分辨分析8.5小波变换的应用及其举例本章要点8.1引言信号的时、频域分析信号时域分析和频域分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。信号的时域和频域之间具有紧密的联系。信号时域分析和频域分析的主要方法：傅立叶变换：问题提出例1：信号其时域波形和频谱如图回目录从时域看，和是两个不同的时间过程；从频域上看，这两个信号的频谱的确相同。显然，两个不同的时间过程对应着完全相同的频谱，但是我们却无法用傅里叶变换将它们区别开来！

2、结论：傅里叶变换不具有那种将这两个具有不同时间过程的信号在频域区别开来的能力！回目录例2：从歌声中恢复乐谱或从从乐谱中恢复歌声怎么办？为什么？用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。这表明Fourier变换不能同时进行时间—频率局域性分析。先详细地的分析一下原因，然后再提出解决办法为了讨论方便，将傅里叶变换对重写如下：(8－1)(8－2)式中称为积分变换的核（简称积分核）回目录分析1：从式（8－1）

3、,傅里叶中采用的基函数（积分核）属正交函数族或正交基，所以傅里叶变换是一种正交变换。由于傅里叶变换的积分核的幅值在任何情况下均为1，即，且在时域的支撑区为；上的贡献决定的，不能反映在局部区域上的特征；即式（8－1）不能用于时域信号的局部分析。但由于在频域连续变化，故其具有无限精细的“频谱分辨率”。回目录分析2：从式(8－2),傅里叶反变换的积分核的幅值在任何情况下均为1，即，且在频域的支撑区为，而的傅里叶反变换为，因此，信号的任意时间点值是由频谱在整个频率域上的贡献决定的，不能反映在局部区域上的特征；即式(8－2)不

4、能用于频率域上的局部分析，但是在时域具有无限精细的“时间分辨率”。回目录分析3：从上述得知，由于傅里叶变换对关系式中的积分核在时域和频域都无始无终，存在于整个时间轴和频率轴上，即积分核在时域和频域的支撑区均为，所以时间过程和频率过程彼此是整体刻画的，不能反映各自在局部区域上的特征。这就从理论上决定了（8－1）、(8－2)定义的傅里叶变换不能用于局部分析。。回目录分析4：式（8－1）的积分核的傅里叶变换为这表明式（8－1）定义的傅里叶变换具有无限精细的“频谱分辨力”；同理式（8－2）中的积分核的傅里叶变换为即式（8－2

5、）定义的傅里叶反变换具有无限精细的“时间分辨力”。回目录8.2时频分析与窗口傅里叶变换8.2.1窗口傅里叶变换的引入由于Fourier变换是频域分析的基本工具，因此，最方便也是最容易想到的方法就是在Fourier分析中的基函数之前乘上一个时间上有限的时限函数g(t)，即用作为积分核，这样起频限的作用g(t)起时限的作用，合在一起就可以起到时频双限制的作用，这时的变换公式为：（8－3）显然，提供了f(t)在g(t)所限定的局部时间区域内波形的频域信息。回目录g(t)往往被称之为窗口函数，则相应的傅里叶变换称为窗口傅里叶

6、变换。其变换公式为：（8－4）式中，中的G表示加窗变换的意思；称为窗口傅里叶变换的积分核。回目录如果我们在频域中对通过窗函数的加窗作用而获得了在频率附近的局域信息，则（8－5）提供了频域窗函数所确定的频域局部区域内信号的时域信息。我们把这种既在时域又在频域都具有局域性质的窗口函数称为时频窗。回目录8.2.2窗口傅里叶变换的能量守恒性不失一般性，选高斯函数作为窗口函数，即（8－6）回目录式中正常数a为窗口宽度参数。其实，Gauss函数在窗口最小意义下是最优窗口函数，这时的窗口傅里叶变换也称为Gabor变换。Gauss函

7、数的傅里叶变换为：(8－7)回目录将(8－6)的窗口函数代入式(8－4),然后两边对做积分，有：(8－8)回目录由于窗口傅里叶变换不损失f(t)在频域的任何信息，因此有(8－9)这表明窗口Fourier变换也是能量守恒变换。回目录8.2.3从系统的观点看窗口傅里叶变换1.加窗的观点当时移固定时，例如取，式(8－4)可写为(8－10)回目录式中。图8－3时移固定时窗口傅里叶变换的系统解释回目录2.滤波的观点当频率固定时，例如，式(8－4)可以写为若窗函数是偶对称的，即回目录则有(8－11)图8－4固定时，窗口傅里叶变换

8、的系统解释从上可见，是一个时频函数，从频域看，它是时域局部区域信号的频谱；从时域看，它又是信号频谱被低通滤波器过滤后的输出。回目录8.2.4时间—频率局域化从上可知，窗口函数是对信号进行时频局部化分析的基本函数，而窗口函数的局部性则可由其自身的窗口尺度来表征。设g(t)为时域窗口函数，其傅里叶变换为频域窗口函数，而相空间的点(8－12)称为窗函