在复数的教学中渗透数学思想方法.doc

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1、在复数的教学中渗透数学思想方法清远市第一中学　吴惠清数学思想是数学研究中解决问题的根本想法，是解决数学问题的灵魂。近几年的高考也加强了对数学思想方法的考查，因此在教学中渗透、突出数学思想方法，教会学生掌握灵活的思维方式、提高数学能力应成为教师备课的深层任务。本文对复数这章的教学所要渗透的主要数学思想方法作粗浅的归纳。1函数思想运用函数思想来解题就是将问题置于动态的情境中去分析和研究具体问题中的数量关系。求复数的模的最值问题有时需转化为关于复数z的实部x或虚部y的二次函数进行讨论求最值。例1设z∈C，且｜z-（2

2、+）｜+｜z-（2-）｜=4，求｜z｜的最大值解设z=x+yi（x，y∈R）∵｜z-（2+）｜+｜z-（2-）｜=4表示到两定点F1（2，）和F2（2，）的距离之和等于4的点的轨迹，是椭圆。∴a=2,b=1,c=∴动点（x，y）的轨迹方程为（x–2）2+=1（1≤x≤3）∵｜z｜=∴x2+y2=x2+[4-4(x-2)2]=-3(x)2+∴x=时，x2+y2=，这时y=±∴z=±时，｜z｜有最大值2方程思想运用方程思想求解复数问题就是将问题转化为待定字母的确定，而这些字母的确定又要通过解方程（组）来完成，这种基

3、本方法深刻地体现了方程的思想。例2求同时满足下列两个条件的所有复数z：（1）z+是实数，且1

4、a，b∈R)或设成z=r（cosθ+isinθ）将关于复数z的问题化归为关于实数a,b或r,θ的问题，进而把问题解决。例3设z是虚数，ω=z+是实数，且-1<ω<2。（1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围；（2）设μ=，求证：μ是纯虚数；（3）求ω-μ2的最小值。解（1）设z=a+bi(a,b∈R，且b≠0)则ω=a+bi+=(a+)+(b-)i∵ω是实数，b≠0，∴b-=0，得a2+b2=1，即｜z｜=1于是ω=2a,而-1<ω=2a<2，∴-

5、，1），b≠0，∴μ为纯虚数（3）ω-μ2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2[（a+1）+]-3∵a∈（-，1），∴a+1>0故ω-μ2≥2×2-3=4–3=1当a+1=，即a=0时，ω-μ2取得最小值1。4整体思想从整体的角度去思考问题，把问题看成一个整体，注重从全局着眼，全面、系统地观察分析整体与局部，整体与结构的关系，从而把握问题的本质，寻找解题捷径。在教学中渗透整体思想，可以培养学生思维的灵活性。例4已知z∈C，｜｜=且arg（）=，求z.解由已知，可得=（cos+isin）=∴z·（1-）=1∴

6、z==1+.说明：该题也可通过设z=x+yi(x、y∈R)求解，但过程繁复.可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，极受中学生欢迎。5数形结合思想数形结合思想，实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，它可以培养学生思维的灵活性、形象性和深刻性.在求解复数问题时，如果能充分利用复数及其运算的几何意义，画出问题的图形，常使问题变得直观、简捷、易解。例5已知复数z满足arg（z-3）=，求M=的最大值。Qy解如图，arg（z-3）=表示点Z在射线ZB3PQ上运动，因此，只要

7、求出射线PQ上的PA点Z到A（6，0）和B（0，3）的距离之和633xO333的最小值即可。根据平几知识，当点Z为线段AB与射线PQ的交点时，这个距离和最小，即，[｜z-6｜+｜z-3i｜]min=｜AB｜==3∴Mmax==y例6已知复数z满足不等式z+iz-i≤0，求arg（z+i）的最小值和最大值。解将z+iz-i≤0化简为｜z-i｜2≤1，O1∴｜z-i｜≤1即点Z在以O1（0，1）Z为圆心，1为半径的圆面上运动，从图Ox形上知｜O1A｜=2，｜O1Z｜=1，A-12∴∠O1AZ=,≤arg（z+i）

8、≤∴arg（z+i）min=,arg（z+i）max=数形结合法是复数一章体现最突出的数学思想方法，充分运用数形结合这一基本数学思想，是学好本章的关键。6分类讨论思想当被研究的对象包含多种可能的情况，我们又不能一概而论的时候，可将对象分成若干个两两不相交的部分，常常能更清楚地暴露事物的本质，可以培养学生思维的严谨性。例7设a≥0,在复数集C中解方程z2+2｜z｜=a解设z=x+yi（x