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1、四、含参量无界函数的反常积分三、含参量反常积分的性质二、含参量反常积分一致收敛性的判别一、含参量反常积分的一致收敛性§2含参量反常积分一．含参量反常积分一致收敛性设函数定义在无界区域上,其中是任意区间.若反常积分都收敛，则上的函数.称(1)为定义在上的含参量x的无穷限反常积分,或称含参量反常积分.定义1若含参量反常积分(1)与函数I(x)对使得当时,对一切都有即则称含参量反常积分(1)在上一致收敛于I(x),或简单地说含参量积分(1)在上一致收敛.注1由定义,在上一致收敛的充要条件是注2由定义,在上不一致收敛的充要条件是
2、例1讨论含参量反常积分的一致收敛性.解若则于是因此,含参量积分在上非一致收敛.因此,该含参量积分在上一致收敛.而对于任何正数,有二．含参量反常积分一致收敛性的判别定理19.7(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1)在上一致收敛的充要条件是:使得当时,对一切的都有证必要性若在上一致收敛,则因此,则令这就证明了在上一致收敛.例2证明含参量反常积分充分性若在但在内不一致收敛.证作变量代换得其中由于收敛,故对任给的正数总存在某一实数M,当时就有取由(5)式所以(4)在上一致收敛.现证明(4)在内不一致收敛.由一致收敛定义的注2
3、,只要证明:存在某一正数使得对任何使得,总相应地存在某个及某个实数由于非正常积分收敛(在本节例6中我们将求出这个积分的值),故对总使得即现令由(5)及不等式(6)的左端就有所以(4)在内不一致收敛.收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致定理19.8含参量反常积分(1)在上一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列证必要性由(1)在上一致收敛,故使得当对一切总有函数项级数在上一致收敛,其中又由所以对正数M,存在正整数N,只要当时,就有由(8)对一切就有这就证明了级数(7)在上一致收敛.充分性
4、用反证法.假若(1)在上不一致收敛,则对使得现取使得一般地,取则有使得由上述所得到的数列是递增数列,且由(9)式知存在正数对任何正整数N,只要就有某个使得这与级数(7)在上一致收敛的假设矛盾.故含参量现在考虑级数反常积分在上一致收敛.注由定理19.8,含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿,我们下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.它用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷判别法.阿贝耳判别法的证明留给读者.魏尔斯特拉斯M判别法设有函数g(y),使得若上一致收敛.证由于因
5、此从而上一致收敛.狄利克雷判别法设(i)对一切实数含参量正常积分对参量x在上一致有界,即存在正数M,对一切及一切都有(ii)对每一个函数关于y单调且当则含参量反常积分在上一致收敛.证时,对参量x,一致收敛于0,于是,由积分第二中值定理，由一致收敛的柯西准则,在上一致收敛.阿贝耳判别法设(i)(ii)对每一个函数为y的单调函数,且对参量x,在上一致有界,则含参量反常积分在上一致收敛.例3证明含参量反常积分在上一致收敛.证由于对任何实数y有及反常积分收敛,故由魏尔斯特拉斯M判别法,含参量反常积分(10)在上一致收敛.在上一致
6、收敛.证由于反常积分收敛(当然,对于参量y,它在上一致收敛),函数对每一例4证明含参量反常积分个单调,且对任何都有故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在上一致收敛.例5证明:若上连续,又在上收敛,但在处发散,则在上不一致收敛.证用反证法.假若积分在上一致收敛,则对于任给总存在当时对一切恒有因上连续,所以是的连续函数.在上面不等式中令得到当时,而是任给的,因此在处收敛,这与假设矛盾.所以积分在上不一致收敛.三、含参量反常积分的性质定理19.9(含参量反常积分的连续性)设上连续,若含参量反常积分证由定理19.8,对任一
7、递增且趋于的数列在J上一致收敛,则I(x)在J上连续.函数项级数在上一致收敛.又由于上连续,故每个上连续.根据函数项级数的连续性定理,函数I(x)在J上连续.这个定理也证明了在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换:定理19.10(含参量反常积分的可微性)设在区域上连续.若在上收敛,在上一致收敛,则I(x)在上可微,且证对任一递增且趋于的数列令由定理19.3推得由在J上一致收敛及定理19.8,可得函数项级数在J上一致收敛,因此根据函数项级数的逐项求导定理,即得或写作最后结果表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交
8、换.上连续,若在上一致收敛,则I(x)在上可积,且上可积.又由定理19.9的证明中可以看到,函数项级数(13)在上一致收敛,且各项上连续,因此证由定理19.9知道在上连续,从而I(x)在定理19.11(含参量反常积分的可积性)设在这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性.(17)式又可写作这就是(16)式
