含参量反常积分性质探析

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1、第27卷第6期商洛学院学报V01．27No．62013年l2月JournalofShangluoUniversityDee2013含参量反常积分性质探析牛怀岗(渭南师范学院期刊管理中心，陕西渭南714000)摘要：用一致收敛的概念直接证明合参量反常积分的分析性质，大大简化了舍参量反常积分的分析性质的证明过程和证明难度，含参量反常积分的分析性质在特殊函数的分析性质的讨论和应用中有重要的意义。关键词：含参量反常积分；一致收敛；连续性；可微性；可导性中图分类号：0172．2文献标识码：A文章编号：1674—0033(2013)06—0028—03OnProper

2、tiesofGeneralizedIntergralwithParameterNIUHuai——gangJournalCenterofWeinanNormalUniversity，Weinan，Shaanxi714000)Abstract：Theanalytuealpropertiesofgeneralizedintergralwithparameter,directlybyuniformconvergence，isproved，whichsimplifiestheproofsofanalytucalproperties．Theanalytucalprop

3、ertiesofgener~izedintergralwithparameterisusefulforspecialfunctions．Keywords：generalizedintegralwithparameters；uniformconvergence；continuity；derivable；integrable含参量积分作为函数，也需要研究它们的分1含参量反常积分和一致收敛性析性质。对于含参量正常积分的分析性质的研究定义1设函数厂(，，，)在无界区域R=．有一致连续保证了被积分函数具有分析性质的f，，，)la<~x≤6，c≤y<+∞}上有定义，若

4、对每一时候，含参量正常积分也具有分析性质。对应于，+∞个∈，6】，反常积分J，，，)都收敛，则它含参量正常积分的一致连续性，含参量反常积分有一致收敛保证含参量反常积分具有分析性质是定义在【0，b】上的函数，记这个函数为J()的时候，含参量反常积分也具有分析性质，这在，+∞时，贝0有，()=If(x，y)ay，∈【0，b】，称一般的数学分析教材中都有相应的结果。但是通一+∞常用的教材中常常把这个问题复杂化，一般的数j，为定义在，6】上的含参量的无学分析教材中，比如文献【1—3]把一致收敛的概念穷限反常积分，或简称含参量反常积分。和分析性质的讨论与函数项级数相

5、联系，使得讨对于其它类型的含参量无穷限反常积分和论过程既不好理解又增加讨论的难度，以致现在含参量瑕积分具有类似的概念。这个问题的讨论依然很多，但是都没有把问题，+∞彻底解决。本文直接用一致收敛的概念来证明含定义2设含参量反常积分J1c．厂，，，)与参量反常积分的分析性质，把问题的讨论过程大函数I)，若对任给的正数Ⅳ，总存在某一实数大简化。M>N时，对一切∈[口，6】，都有收稿日期：2013—10—05作者简介：牛怀岗，男，陕西岐山人，副编审第6期牛怀岗：含参量反常积分性质探析所以IJ，y)dy-I(x)I<，l，0)一，0)l_I，+∞I即，y)ay一，)

6、l<占，of(x+x。，y)dy一』ofC~o，y)dyl=则称含参量反常积分Jf，ay在，6】，It}“fC~+x0，y)dy+rf+∞fC~+xo，y)dJ，u厂，y)dy—JcJJc上一致收敛于，()，或简单地说含参量积分伊)，))，)』伊)，)l+J，y)ay在【口，6】上一致收敛。JFC~+x。，y)-f(x。，I≤争+争+定理1(含参量反常积分一致收敛的柯西准(u-c)=，则)含参量反常积分I，，在，b]上一定理得证。致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在某一实数M>c，使得当Al，A2>M时，对一切∈，定理3表明，在一致收敛的条件下，极限运算

7、与无穷积分运算可以交换，即6】，都有l，y)l。l—ira』，dy=y)dy=定理2(魏尔斯特拉斯M判别法)设有函，+∞数g(，使得if(x，I≤g(1y)，口≤≤6，c≤，，<+∞，Jlimf(x，。c若fg收敛，则f，在，hi~-定理4(可微性)设厂，与，)，)在【口，b]致收敛。×[c，∞]上连续，若，)=，在[口，6】上收含参量反常积分的一致收敛性除了相应的柯西收敛准则和M判别法，还有狄利克雷判别敛，』，y)在，6]上一致收敛，则，)在法和阿贝尔判别法，这里不再叙述，参阅相应的，6]上可微，且，)=l，4-∞，。文献【1】。对于含参量瑕积分也有相应

8、的讨论，在证明设‰，0十∈，6]，V8>0，由用到的时候，直接应用