4稳定态导热问题的数值解

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1、4稳定态导热问题的数值解在稳定态时，固体或者静止流体A部导热方程可以写成以下形式:(4-1)dTdxvdx)dy[dy4.1一维稳定态导热的差分方程对于一维稳态导热问题，式(4-1)可以写成:(4-2)式(4-2)可以直接进行积分，采用分析解法得到其解析解。本节利用数值解法，采用差分方法，建立一维导热问题的差分方程。基本思路是先针对简单的一维问题，介绍将微分方程变为差分方程的基本方法。对于式4-2,在控制体上采用中心差分，可得:dT'(M+A，=o(4-3)两边同时乘以控制体的体积(Ar).2」竺)-2./竺

2、切“耐=0dxdx(4-4)dT)Vdx)e

3、差分，可得：(4-5)喘-喘喇=。又2令：〜=/aw=/e，qv=Su+SpTp(源项线性化处理)。(MSxK整理可得:aE(TE~Tp)^~aw(TP~TW)+(SU+5prp)(Ax).=0aE^EaV^W(^)/—_aEaW_(^0,]令：aE+6ZW-Sp(Ax).=ap,Su(Ax).=b贝ij:apTp=aETE+awT'v+b=[a曲Tnb+b(4-6)上式即为一维稳定态导热问题内部，点的差分方程。对于等步长、常物性、无内热源的特殊情况，Ae=Aw=A,(^)e=(Jx)u,=(/Lr).=Av,J92SM=*S=0。所以=—，ap=——，/?=0。公式4-6可以变

4、成：AxAxT=Te+TwP—24.2二维稳定态导热的差分方程1r——•1w1N"itr1e1E11F1111-"s■—1■s4.2.1数学方法二维情况下，稳态导热方程可以写成:dxdxdTdy[dy+9v=0(4-7)x、y方向分别采用巾心差分，同时考虑到久可得:(M7dx^dT(M3)，dTdyI)eV(外+p^_A-+(s„+抓)(心),+(m=0令:"南(M■爲=A；⑽，v=(M(M，as'=A(耐整理可得：以£[+“VVAv+“A了/V+(Ay)y=[“£++“Af+“S—Sp(Ax);-(Aj^)jTp令：aE+aw+aN+as-SP(A.v)z.(A)；)y=ap,Sl

5、t(Ar).(AjO；=b贝IJ:“£r£+awTw+aNTN+asTs+b=[anhTnh+/?(4-8)对于等步长、常物性、无内热源的惜况，人=人，=A,,=乂、.=义，{Sx,-{Sx)w=(Ar).=Ar,(^V)«=(5)’).、=(△)%=4V:二0。对于正方向网格，Ar=4y。此时，=a"=«s.=zl，6fp=4/1，/?=0。公式4-6可以变成：_r£+tw+7；v+r5Tp_4对于这样的问题，也可以直接从微分方程得到。二维常物性、无内热源导热问题的微分方程可以写成：収等步长，应用二阶导数的三点差分格式，可得：,TN+TS-2TP必)2(A)’)2"由于=所以上式可

6、以变为：Tp=Te+WTs。结果相同。4.2.2物理方法对于如图4-3所示的控制体，建立热平衡关系式如下：Qe+Qw+Qn+2.s+2/>=o其中：Qw=_〔乂芸)(△》’);+=_人'(△戏+=(5)(知)“7^_7p)=flw(Tw~tp)Qe=七芸P△戏=_A•転△戏=令)，Qn(^),~aN(Tn~Tp)Qs乂I^^i=as^S~Tp^Qp=(^)z(△)%=(su+5prp)(Av).(Ay).aw(^v_7p)+6f£(7E-TpXTn-Tp、+as、Ts-7^)+(5m+5prp)(Av).(Ay);=0cipTp—6/g7^"I-ci^T^y~~“n^v+a$十b用数

7、学方法和物理方法得到的方程是一样的。内部节点的差分方程用哪种方法都是可以的4.3三维稳定态导热的差分方程dT、a(+——dzdT、dx>+—d>22(4-9)类似与二维情况的处理方法，Vdz)两边同时乘以(Ar),.(4y)/Az,可得:dz+Slf+SPTP=0dTAZkl^LI(AV).(Az)a+(耐(M(紙(M(Ay).+(SW+5prp)(Ax-).(Ay)；(Az=0令：^=(^r(4v)>(Az^〜(Azh〜='^f(Ar),(Az)々七=^f(A^(Az)〜=?^7(心),(△〉')；〜(心)X5；(Ar),.(4y)/Az)々=/?ap=aE4-aw+an-^

8、^(ArX.CAv).(Az)^(4-10)KO:apTp=aETE+awTw+cinTn+asTs+aFTF+dBTB+Z?=[a,,bT，ib+b4.4边界节点的差分方程边界节点的差分方程只能采用物理方法进行推导。下面以二维稳定态导热边界节点为例，介绍如何应用物理方法推导差分方程。4.4.1第三类边界条件对于如图所示的二维边界节点，右边界为第三类边界条件，对流换热系数为《，环境温度为Tf。对于控制体，建立热平衡关系式如下：Qe+Qw+G,v