传热学-4-导热问题数值解基础-课件.ppt

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1、第四章导热问题数值解基础1、重点内容：①掌握导热问题数值解法的基本思路；②利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。2、掌握内容：数值解法的实质。3、了解内容：了解非稳态导热问题的差分格式及其稳定性。第四章导热问题数值解基础分析解法与数值解法的异同点：相同点：根本目的是相同的，即确定①t=f(x,y,z)；②Φ。不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。数值解法的实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的

2、场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。第四章导热问题数值解基础建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否物理问题的数值求解过程第四章导热问题数值解基础4-1离散化和差商基本原理理论分析解法：偏微分方程式数学物理方法有限差分法：把物体分割为有限数目的网格，将微分方程变换为差分方程；通过数值计算直接求

3、取各网格单元节点的温度。有限差分法的基本原理即为：用有限差商代替微商，从而将微分方程转化为差分方程。有限差商近似代替微商1）视相邻节点间的温度分布为线性的；2）每个节点的温度即为它所在的网格单元的温度；3）网格单元；4）温度场的离散值；5）网格划分愈细密，节点愈多，其结果越精确。网格间距（步长）可任意选定，可取x=y；6）对于非稳态导热问题，时间可划分为许多间隔。4-1离散化和差商二维物体中的网格i+1,ji,j+1i-1,ji,j-1i,jxy4-1离散化和差商导数的有限差分表达式导数有限差商利用泰勒级数展开式1向前差分一阶截差公式称为截断误

4、差取前两项：一阶导数的向前差分表达式2向后差分泰勒级数展开式一阶截差公式称为截断误差取前两项：一阶导数的向后差分表达式4-1离散化和差商3中心差分取向前差分和向后差分的前三项，并相减，可得一阶导数的中心差分表达式二阶截差公式4-1离散化和差商x方向二阶导数的中心差分y方向二阶导数的中心差分温度对时间的一阶导数采用前差或后差公式4-1离散化和差商用有限差分法求解二维稳态导热问题的步骤：1领域划分：将物体分割成很多小方块，以每个小方块的中心为节点，形成有很多节点的网络。2列方程：根据公式，找出对应节点的节点方程。有多少个温度未知的节点就列出多少个方程，将这

5、些线性方程组成方程组。3求解方程组：便得到各节点的温度值。计算精度取决于网格疏密程度。对于传热和流体力学问题的求解，一般认为差分法优于其他数值方法。4-2稳态导热问题的数值计算4-2稳态导热问题的数值计算二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题xyji(i,j)IJ基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长4-2稳态导热问题的数值计算（1）建立控制方程及定解条件针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）及边界条件为：（2）区域离散化（确立节点）用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间

6、位置，称为节点(结点)，节点的位置用该节点在两个方向上的标号i，j表示。相邻两节点间的距离称步长。4-2稳态导热问题的数值计算xyji(i,j)IJ（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下：•首先，划分各节点的类型；•其次，建立节点离散方程；•最后，代数方程组的形成。4-2稳态导热问题的数值计算（4）设立迭代初场代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。4-2稳态导热问题的数值计算

7、4-2稳态导热问题的数值计算（5）求解代数方程组常见问题：①线性；②非线性；③收敛性等。除i=1的左边界上各节点的温度已知外，其余(i-1)j个节点均需建立离散方程，共有(i-1)j个方程，则构成一个封闭的代数方程组。xyji(i,j)IJ4-2稳态导热问题的数值计算1）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再变化；2）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不断更新；3）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。4-2稳态导热问

8、题的数值计算（6）解的分析通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的