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1、平面向量的概念及线性运算一、向量的概念及线性运算1.若向量a与A不相等，则a与A—定（）A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量2.若2Z7//73，n//k,则向量2Z7与向量A（）A.共线B.不共线C.共线且同向D.不一定共线3.A.是△黨的边必上的中点，贝IJ向量泛等于（-BC+^SAB.C.Jc-^BAD.Jc+^BA二、向量的数乘及共线向量1.设a与Z?是两个不共线向量，且向量a+J6与2a—Z?共线，则2=.2.已知昀景a,6,且力=a+2Z>,BC=~5a+Qbf~CD=l
2、a~2b,共线的三点是Olli给出下列五个命题：①两个向量相等，贝拕们的起点相同，终点相同；②若
3、a
4、=
5、A
6、，则a=b'③在^4^62?中，一定有心④若227=/?，n=p，则2Z7=P:⑤若a///?，办//
7、a
8、=
9、A
10、,则3=如@若A，B，C，厶是不共线的四点，则々=反是四边形必⑶为平行四边形的充要条件;③若a=b，/?=6则a=e;④a=Z?的充要条件是
11、a
12、=
13、A
14、且a//A.其中正确命题的序号是.考向二平面
15、向量的线性运算B如图，已知必是圆0的直径，点r、是半圆弧的两个三等分点,A.a-'2bAB=a,AC=b,则C.a+^Z?D.^3+b⑵）若0是Al所在平面内一点，2?为及7边的中点，且2冗+漆+没-0,那么（）J.AO=ODA0=20DCA0=30DD.2A0=0D【典例精讲】（1）连接OC、OD、CD,由点C、D是半圆弧的三等分点，有ZA0C=ZC0DZB0D=60°，且0A=0C=0D,则A0AC与A0CD均为边长等于圆0的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以=+应+XS=ja+A(2)如图,0B
16、+0C=20DXV2fi4+^+O7=0.*.OB+OC=-20A...20D=-20A...0D=AO.【答案】(1)/?(2)J1.两个重要结论(1)向量的中线公式：若P为线段AB中点贝
17、J6F=臺(6X+66).(2)向量加法的多边形法则A~X+AX+XX+…+An-lAn=A~X.o变式训练)2.已知AABC和点M满足盛+ffi+流=0,若存在实数m使得成立，则m=（）A.2B.3C.4D.5解析:选及由硫+ffi+硫=0易得M是AABC的重心且重心M分中线AE的比为AM:ME=2:1,/.AB+AC=2A
18、E=m=学•AS,2mT考向三共线向量定理及应用设氏，ft是两个不共线向量，已知^&=2氏一8氏，CB=ei+3e2f~CD=2e—&l.(1)求证：儿及2?三点共线；⑵若赤=3氏一知，且AAF三点共线，求A的值.【典例精讲】(1)证明：由已知得BD—CD-CB—(2^1-&2)~(日1+3^)=ei-4^,•••AB=2e-8^,/.2BD,又有公共点万，/.H2?三点共线.(2)由⑴可知筋=e.-4ft,且廢=3e-kei,由衣，A，，三点共线，所以存在实数J,使得赤=入氮即3氏■=义氏■4]ft,M=3,
19、得，解得々=12,L-A=-4义，:.k-12.[易错警示系列10]向量共线与其方向关系不清致误2014•郑州模拟)已知向量a,不共线，且＜;=^+b，d=a+(2/l-l)Z>,若c与0)，于是义a+b=k[a+(2A-1)Z>],整i里得入a+b=ka+(22^-k)b.入=k,由于a,6不共线，所以有2Ak~k=l,整理得2f-2-1=0,所以4=1或A=-j.又因为k>0,所以乂>0,故=1.【答案】1【易错点】解答本题时，由于对两个向量共线
20、、同向、反向的概念理解不清，混淆它们之间的关系，导致错解：认为有两解.【警示】两个向量共线，是指两个向量的方向相同或相反，也称它们为平行向量，因此共线包含两种情况：同向共线或反向共线.在求解相关问题时要注意区分三者.一般地，若a=乂A,那么a与6共线,•当乂>0时，a与6同向，•当A<0时，a与6反向.DI真题体验I真题试做速效提升1.(2012•高考辽宁卷)已知两个非零向量a,6满足
21、a+Zd=
22、a_Zd,则下面结论正确的是()B.a丄AA.a//b边形对角线相等，此时平行四边形为矩形，C.a=bD.a+b
23、=a—b解析:选B.
24、a+/d=
25、a-A
26、表示平行alb.2.(2013•高考广东卷)设a是已知的平面向量且成0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量A,总存在向量e，使3=/>+
