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1、频域图像增强与滤波授课内容：傅立叶变换傅立叶变换的由来傅立叶变换中的几个概念二维图像的傅立叶变换频域图象增强与滤波1.傅立叶变换傅立叶（Fourier,JeanBaptisteJoseph,1768-1830）●法国数学家及物理学家 ●最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方法。●傅立叶级数（三角级数）创始人1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。1.1傅立叶变换的由来傅立叶级数傅立叶积分傅立叶变换180
2、7年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出着名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数的物理含义傅立叶积分：傅立叶变换：正变换逆变换离散傅立叶变换正变换：逆变换：二维离散傅立叶变换正变换：逆变换：1.2傅立叶变换的几个概念频域傅立叶变换的实部、虚部实部对应图像的偶对称成分虚部对应图像的奇对称成分傅立叶变换的功率谱和相位零点漂移：图像的频谱原点移到图像的中心空间域卷积运算，频域的乘法运算u=0u=N/2u=Nv=Nv=N/2v=01.3二维图像的傅立叶变换零点漂移原始图像零点漂移图像的功率谱u
3、=0u=N/2u=Nv=Nv=N/2v=0originalamplitudephase功率谱和相位谱2.频域图象增强与滤波2.1频域低通滤波法频域低通滤波法是一种频域处理法。对于一幅图像，它的边缘、跃变部分以及噪声都是图像的高频成分，而大面积的背景区和慢变部分则是图像的低频成分，用频域低通滤波法除去其高频分量就能去掉噪声，使图像平滑。前面已经讲过，空域滤波是建立在卷积运算的基础上，即其中g(x,y)为原图像函数，h(x,y)为滤波函数，f(x,y)为滤波后的期望图像。如果令则根据卷积定理有这就是频率域滤波的基本算式。其中H(u,v)叫做滤波器的传递函数，或者叫做滤波器。频域滤波法是
4、建立在Fourier变换与卷积定理基础上。在G(u,v)给定的条件下，期望图像f(x,y)的效果决定于H(u,v)的选取。按照选取的H(u,v)的性质，频域法分为：低通滤波、高通滤波和带通滤波等。频域滤波处理过程如下图所示:FFT×H(u,v)IFFTg(x,y)G(u,v)F(u,v)f(x,y)下面介绍几种常用的低通滤波器。2.2低通滤波法u=-N/2u=0u=N/2v=N/2v=0v=-N/2D0D(u,v)低通滤波器示意图2.1.1理想低通滤波器（ILPF）一个理想的低通滤波器的传递函数是由下式表示：式中D0是一个规定的非负的量，它叫做理想低通滤波器的截止频率。D(u,v)
5、代表从频率平面的原点到(u,v)点的距离，即ILPF理想低通滤波器平滑处理的概念是清楚的，但它在处理中会产生较严重的模糊和振铃现象。这是由于H(u,v)在D0处由1突变到0，这种理想的H(u,v)对应的冲激响应函数h(x,y)在空域中表现为同心园环的形式，并且此同心园环数与D0成反比。D0越小，同心园环数越多，模糊程度愈厉害。正是由于理想低通滤波器存在此“振铃”现象，使其平滑效果下降。ILPFILPF2.1.2巴特沃思低通滤波器（BLPF）一个n阶的巴特沃思低通滤波器的传递函数表示为或BLPF巴特沃斯低通滤波器BLPF巴特沃思低通滤波器又称为最大平坦滤波器。它与理想低通滤波器不同，
6、它的通带与阻带之间没有明显的不连续性。因此，它没有“振铃”现象发生，模糊程度减小，但从它的传递函数特性曲线H(u,v)可以看出，在它的尾部保留有较多的高频，所以对噪声的平滑效果不如理想低通滤波。BLPF原始图像n=3巴特沃斯低通滤波器D0=0.2D0=0.1D0=0.05BLPFn=1n=3n=5巴特沃斯低通滤波器D0=0.1BLPF原始图像2.1.3指数滤波器（ELPF）指数滤波器的传递函数H(u,v)表示为：由于指数滤波器具有比较平滑的过渡带，为此平滑后的图像没有振铃现象，而它与BLPF相比，它具有更快的衰减特性，所以经ELPF滤波后的图像比BLPF处理的图像稍微模糊一些。或E
7、LPFELPF2.1.4梯形滤波器（TLPF）梯形滤波器的传递函数介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器之间，它的传递函数为：在规定D0和D1时，要满足D0＜D1的条件。一般为了方便，把H(u,v)的第一个转折点D0定义为截止频率，第二个变量D1可以任意给定，只要D1大于D0就可以了。TLPFTLPF频域低通滤波法H(u,v)D(u,v)D01H(u,v)D(u,v)1123H(u,v)D(u,v)1123H(u,v)D(u,v)D01D1ILPF特性曲线BL
