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1、第四章频域图像增强傅里叶变换和频域介绍平滑的频域滤波器频域锐化滤波器同态滤波器傅里叶变换的实现1傅里叶在1807年指出任意周期函数都可以表示为不同频率的正弦/余弦和的形式。24.1傅里叶变换和频域介绍一维傅里叶变换：一维傅里叶反变换：3二维傅里叶变换：二维傅里叶反变换：4离散形式：注意：正变换前的1/M，有时候放在反变换前面，还有的时候分解为,放在正反变换前面。这并不影响问题的本质。正变换：反变换：5其中，称为幅度或频率谱称为相位或相位谱定义称为功率谱6正变换：反变换：二维：7其中称为幅度或频率谱称为相位或相位谱定义称为功率谱类似可定义：8容易看出，等于图像的平均灰度值，所以有时也称为频
2、率谱的直流分量。如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换必然为对称的，即有:9傅里叶变换的平移二维傅里叶变换的性质：平移：10当u0=M/2且v0=N/2时，因此有上式说明的傅里叶变换的原点被设置在了u=M/2,v=N/2上。11121314卷积定理：时域（或空域）中的卷积等价于频域的乘积。15空域滤波和频域滤波之间的关系16频域中的滤波处理用(-1)x+y乘以输入图像来进行中心位移；计算图像的DFT，即F(u,v);用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v);计算F(u,v)H(u,v)的反DFT;取(4)步结果中的实部；用(-1)x+y乘以(5)中的结果。H(u,v)称为“滤波器”。
3、1718频域滤波的思想在傅里叶变换中，低频主要决定图像中平滑区域中总体灰度级的显示，而高频决定图像细节部分，如边缘和噪声。因此通过对频域信息的处理，可以达到对图像的某些特征信息的增强或减弱的目的。使低频通过而使高频衰减的滤波器称为“低通滤波器”；使低频衰减而使高频通过的滤波器称为“高通滤波器”。19204.2平滑的频域滤波器通过衰减指定图像傅里叶变换中高频成分的范围来实现对图像平滑的目的。理想滤波器巴特沃思滤波器高斯滤波器21理想低通滤波器其中D0为截止频率，D(u,v)=((u-M/2)2+(v-N/2)2)1/2是频率平面原点到点(u,v)的距离。2223242526理想低通滤波器特
4、点：物理上不可实现有振铃效应滤除高频成分使图像变模糊27巴特沃思低通滤波器282930巴特沃思低通滤波器特点：一阶巴特沃思滤波器没有振铃效应，二阶振铃效应很小，随着阶数增加，振铃效应加重。阶数n趋于无穷时，巴特沃思滤波器成为理想滤波器。二阶巴特沃思滤波器是在有效的低通滤波和可接受的振铃效应之间的折中。31高斯低通滤波器3233高斯低通滤波器特点：没有振铃效应。对应的空域滤波器也是高斯型的344.3频域锐化滤波器理想滤波器巴特沃思滤波器高斯滤波器3536理想高通滤波器37巴特沃思高通滤波器38高斯高通滤波器39频域的拉普拉斯算子40频域拉普拉斯算子可由如下滤波器实现：41424.4同态滤波
5、图像f(x,y)可以表达成照度和反射两部分的乘积：但是，4344则增强处理后图像g(x.y)为：给定一个频域滤波函数H(u,v)45一般来说，图像的照射分量通常变化较为缓慢，而反射分量反映了物体的光学反射特性，主要为图像的边缘和细节部分。这些特性导致图像取对数后的傅里叶变换的低频成分与照度相关，而高频成分与反射分量相关。46gL<1,并且gH>1,该滤波器减少低频，提升高频，如：47同态滤波处理流程：4849504.5傅里叶变换的实现4.5.1二维傅里叶变换的性质：平移：51当u0=M/2且v0=N/2时，因此有52分配性和比例变换性：53旋转性：引入极坐标则有：以角度旋转f(x,y),
6、则F(u,v)也将旋转相同角度.54周期性和对称性：5556可分性：其中，57结论：二维傅里叶变换可以通过先对输入图像的每一行进行一维变换，然后沿中间结果的每一列再进行一维傅里叶变换得到。584.5.2采用傅里叶正变换算法计算傅里叶反变换上式两边取复共轭，并用M同时除以等式两边，可得59注意：如果f(x,y)是一实函数，则经过傅里叶正变换和反变换后，由于离散计算数值误差的原因，会导致反变换后得到的f(x,y)不再是一个实函数，而是包含有一个误差的复数项，虚部不为零。此时可以直接取结果的实部做为反变换的结果。从上式可以看出，计算傅里叶反变换可以利用傅里叶正变换的算法进行。唯一需要注意的是正
7、反变换公式前面的常数项。604.5.3DFT的周期性6162解决办法：设f和h分别由A个和B个点组成，对两个函数同时进行延拓，添加0使得它们具有相同的周期P当P>=A+B-1时，卷积的两个周期才不会发生混叠。6364二维扩展是类似的，设图像f(x,y)和滤波器大小分别为AxB和CxD,则扩展周期为65循环卷积:设序列x(n),h(n)都是N点序列，它们的DFT分别是X(k),H(k)。则他们的循环卷积y(n)定义为：其中(nmodN
